Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
п
где H есть однородная функция нулевой степени относительно переменных q. Известное правило анализа учит, что наиболее общее решение мы найдем, прибавляя к какому-нибудь частному решению
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
431
уравнения (44) общий интеграл соответствующего однородного уравнения
П h = i
которое определяет функцию S1, однородную первой степени относительно q. Так как функция 2 = —Н, в силу того, что H есть однородная функция нулевой степени, представляет собой частное решение уравнения (44), то заключаем, что общий интеграл уравнения (44) равен — H 4-?. Таким образом, в интересующем нас исключительном случае кинетический потенциал 2(q q), не зависящий от t, является по отношению к q суммой двух однородных функций, одной — нулевой степени и другой — первой степени.
24. Обобщение принципа стационарного действия. Рассмотрим любую лагранжеву систему (31) с кинетическим потенциалом 2, не зависящим от t. В динамическом случае (консервативном), как известно, имеем
8== T-)-U
и, следовательно, всегда
V
ZjT^Vh = 2Г,
**dqh ft = і
если 8 не зависит от времени.
Поэтому в качестве естественного обобщения определения (25) на случай произвольной лагранжевой системы (31) с функцией 8, не зависящей от t, назовем действием, относящимся к какому-нибудь решению о уравнений (31) в течение заданного промежутка времени от t0 до tu интеграл
А= Г S (45)
/ h = I aQh
который на основании равенств (37) и (16) можно также написать в виде
A = S + f Hdt
Так как 8 не зависит от времени, то для системы (31) имеет место обобщенный интеграл энергии H=E, поэтому
A = S-HEfo-Z0). (45')
Допустим, что интеграл энергии действительно содержит dt, т. е. исключим случай, когда 8 по отношению к q является суммой
432
ГЛ. Xt. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
однородных функций, одна — нулевой степени, а другая — первой (предыдущий пункт).
Заметив это, возьмем в качестве решения системы (31) некоторое решение о, соответствующее заданному значению постоянной энергии. Применяя операцию асинхронного варьирования к решению о, получим
8* JHdt = I* {Е — f0)} = [НЩ% + (f, -10) 8* Е;
*0
откуда, прибавляя почленно это тождество к равенству (38) и принимая во внимание уравнение (45'), мы получим для асинхронной вариации действия при условии H=E выражение Г »
8*А = 2 + (*i - *о)8* E + А. (46)
Lft = I _к
Эта формула позволяет распространить принцип стационарного действия на общие лагранжевы системы (31) с не зависящим от времени кинетическим потенциалом.
Действительно, предположим, что на движение, удовлетворяющее такой системе, накладывается асинхронная вариация, связанная двумя условиями: она должна быть изоэнергетической, т. е. после варьирования должно сохранять силу уравнение H = E с тем же значением постоянной энергии, что и в движении о (8*? = 0), и должна оставлять неизменными конфигурации на концах (bqh — 0, при t—t0 и t=t1). При таких предположениях мы непосредственно из выражения (46) выводим уравнение
8*А = 0. (47)
Отсюда заключаем, что действие, относящееся к движению о, является стационарным (если варьированные движения определяются только что указанными асинхронными вариациями). Обратно, если некоторое движение удовлетворяет уравнению H = E и условию стационарности (47) для всякой асинхронной изоэнергетической вариации с одними и теми же конфигурациями на концах, то для него имеет место на основании формулы (46) тождество A = O, из которого посредством обычного рассуждения выводится, что движение а удовлетворяет лагранжевой системе (31).
Как и в динамическом случае, когда можно было исключить dt элементарным путем (п. 15), и здесь можно дать предыдущему результату более определенную и наглядную форму, исследуя влияние зависимости 8*#=0, наложенной на асинхронные вариации.
Так как при введенных с самого начала предположениях относительно функции Лагранжа 2 функция H действительно зависит от dt, условие, что асинхронно-варьированное движение о0 — изо-энергетическое, т. е. что Ъ*Н= 0, содержит, конечно, условие
§ S. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
433
8dt = dbt и потому не накладывает никакого ограничения на траекторию движения Qa; оно определяет только, посредством одной квадратуры, вариации асинхронности Sf, когда заранее (произвольно) задается соответствующее синхронно-варьированное движение и, следовательно, соответствующая траектория.
Поэтому, обращаясь опять к следствиям, вытекающим из уравнения (46), мы можем заключить, что имеет место полная эквивалентность между лагранжевой системой (31) вместе с уравнением H=E (связка решений) и вариационным условием (47), отнесенным к переходу от любой траектории рассматриваемой связки к какой-нибудь бесконечно близкой кривой с теми же концами.
В этом заключении мы имеем обобщение принципа стационарного действия на лагранжевы системы с кинетическим потенциалом 8(^1?), не зависящим от времени, но в остальном произвольного вида.
Естественно, что мы получим снова динамический случай п. 15, если й будет вида T-f-U, где T есть квадратичная форма относительно q и U не зависит от обобщенных скоростей.
