Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В рассматриваемом здесь случае изображающего пространства конфигураций голономной системы элементарный пример одной единственной точки, свободной или удерживаемой на поверхности или на кривой, подсказывает особый выбор мероопределения, который оказывается очень удобным такире и в общем случае. Если масса точки предполагается равной единице, то элементарное расстояние ds между
J) Cm., например, Darboux, loc. cit. на стр. 403, п. 545 для элементарного случая двух переменных и п. 568 дня какого угодно числа переменных.
412
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
двумя бесконечно близкими положениями ее в физическом пространстве, где происходит движение, определяется равенством
ds2 = (X2 -f-y2-j- г2) dfi,
или также, если введем живую силу Т, равенством
ds2=2Tdt2; (27)
это и есть то мероопределение, которое удобно принять вообще для изображающего пространства конфигураций какой угодно голономной системы CO связями, не зависящими от времени.
Всякое движение, посредством которого материальная система переходит от некоторой начальной конфигурации C0 к некоторой конечной конфигурации Cu будет изображаться в определенном таким образом метрическом многообразии Vn некоторой кривой, соединяющей обе точки, изображающие две конечные конфигурации, и имеющей параметрическими уравнениями конечные уравнения, выражающие закон движения ‘ qh = qh (t). Такая кривая, которая в случае одной
единственной точки, свободной или несвободной, тождественна с соответствующей траекторией в физическом пространстве, в общем случае называется динамической траекторией системы в том движении, о котором идет речь.
Рассмотрим динамическую (в этом смысле) траекторию с любого естественного движения и сравним ее с аналогичной траекторией с„ какого-нибудь синхронно-варьированного движения с теми же конечными конфигурациями.
Так как виртуальные перемещения для какой угодно конфигурации получаются путем прибавления к координатам произвольных бесконечно малых значений величин bq, то мы непосредственно видим, что траектория синхронно-варьированного движения Cv будет произвольной кривой, бесконечно близкой к кривой с и соединяющей
те же начальную и конечную точки. Если далее вспомним, что вся-
кое асинхронно-варьированное движение можно получить из синхронно-варьированного, оставляя неизменными оо1 конфигураций и изменяя только момент t прохождения системы через соответствующую этому моменту конфигурацию в синхронно-варьированном движении на t-{- Ы, то заключаем, что также и для асинхронно-варьированных движений (изоэнергетических или нет) динамические траектории будут вполне произвольными кривыми, лишь бы они были бесконечно близкими к кривой естественного движения и соединяли одни и те же концы.
Обратимся теперь к принципу стационарного действия
8*А = О (24)
и предположим, что силы, действующие на систему, консервативны. При этом предположении имеет место уравнение энергии
T-U = E,
(28)
§ 4. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА ГЁЛЬДЁРА
413
где, как мы уже знаем, при переходе от некоторого естественного движения к какому-нибудь из асинхронно-варьированных изоэнерге-тических движений, по отношению к которым удовлетворяется условие стационарности действия (24), полная энергия остается неизменной (Ь*Е ~ 0). Отсюда следует, что из выражения действия можно исключить время и придать ему, таким образом, в метрическом мно^ гообразии Vn исключительно геометрическую форму. Действительно, подинтегральное выражение (25) можно написать в виде
уТгу ZTdta
или на основании формул (27), (28) в виде
Y2(U+E)ds;
в силу этого, подставляя вместо текущего переменного t длину дуги S, мы должны распространить интеграцию на динамическую траекторию с движения, к которому относится действие, или, точнее, на ту дугу ее, которая заключена между начальной и конечной конфигурациями C0 и C1. Таким образом, будем иметь
A-J 1/2 (U-j-E) ds; (25')
с
а так как теперь исключено всякое влияние закона изменения координат с временем, то принципу стационарного действия можно придать вид
8А = 0. (24')
Кроме того, если примем во внимание, что, с одной стороны, полная энергия E остается неизменной при переходе от естественного движения к какому-нибудь асинхронно-варьированному изоэнергетиче-скому движению и что, с другой стороны, этот переход в метрическом многообразии Vn равносилен замене динамической траектории естественного движения произвольной бесконечно близкой кривой с теми же концами C0, C1, то из принципа стационарного действия (24') будем иметь, что динамическая траектория естественного движения между двумя указанными конфигурациями C0, C1 при задан-
ном значении энергии будет некоторой кривой метрического многообразия Vn, для которой криволинейный интеграл (25') имеет стационарное (или минимальное, если обе конфигурации достаточно близки) значение.
Обратно, всякая кривая метрического многообразия Vn, удовлетворяющая условию стационарности (24') по отношению ко всем бесконечно близким кривым с одними и теми же концами, будет динамической траекторией некоторого естественного движения.
