Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
/ A = L _L— G G — 0\
U = '+?-H —ш = —(g + 9) -6 )’
23*
356
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
в которых угловыми аргументами, помимо искомой средней долготы, являются долгота перигелия и долгота восходящего узла, обе с обратным знаком. Вспоминая уравнения (139), мы видим, что новые аргументы L—G = Z.(1—YI—еа), G — 0=0(1 — cos і) пригодны, в частности, к случаям малого эксцентриситета или малого наклона, так как они исчезают соответственно при е = О и при
і = 0.
Дальнейшее каноническое преобразование позволяет подставить вместо пар переменных
которые имеют характер полярных координат, так как один из аргументов есть угол, пары переменных (канонические переменные Пуанкаре), тоже сопряженных, но имеющих характер декартовых координат (п. 14)
Сопряженные переменные S1, Tj1, исчезающие при ? = 0 (круговые орбиты), носят название эксцентрических переменных, а переменные S2, Yj2, исчезающие одновременно при і = 0, называются обличе-скими переменными.
Заметим, кстати, что найдены и другие типы канонических переменных, имеющие характер кеплеровых переменных, т. е. определенным образом связанные с кеплеровым оскулирующим движением. Среди них заслуживают упоминания те, в которых единственным переменным аргументом в кеплеровом движении, вместо средней аномалии /, является эксцентрическая аномалия и ') или истинная аномалия V2).
71. Введение кеплеровых переменных в возмущенном движении. Предположим, как в п. 27 гл. III, что точка Р, помимо преобладающего действия ньютонианского притяжения неподвижным центром О, подвергается действию некоторой возмущающей силы, являющейся производной от единичного потенциала V. В этом случае, принимая для простоты массу точки P равной 1, мы должны
*) Т. L е vi-C і Vit a, Nuovo sistema cationico di elementi ellittici, Ann. di Mat. (3), т. XX, 1913; стр. 153—169.
2) Н. Andoyer, Sur Tanoraalie excenlrique et l’anomalie vraie corame-elements canoniques d’apres М. М. T. Levi-Civita et G.-H. Hill, Bull. Astronomique, т. XXX, 1913, стр. 425—429.
§ 13. Основная теорема теории возмущений
§ 13. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
357
будем определить движение канонической системы с характеристической функцией
H = H0-V,
где H0 обозначает характеристическую функцию, которая входит в уравнение (130) и соответствует невозмущенному движению, а V есть так называемая пертурбационная функция.
В качестве неизвестных мы прежде всего могли бы взять здесь те переменные, которые определяют состояние движения (положение и скорость) точки Р, т. е. переменные х, у, г и х, у, z или переменные р9, ра, рч и р, о, ю, соответствующие полярным координатам.
Ho в этой задаче лучше ввести согласно указаниям в конце п. 68 кеплеровы переменные (138), относительно которых можно предположить, что L, О, 0, g, 0 изменяются, оставаясь близкими к тем постоянным значениям, которые они имели бы в невозмущенном движении (кеплеровом), а изменение /, которое в этом последнем движении было бы пропорционально t—10, будет немного отличаться от равномерного изменения.
Так как преобразование между первоначальными переменными и переменными (138) является вполне каноническим, то преобразованные уравнения будут также каноническими, а новая характеристическая функция получится просто путем выражения первоначальной функции H через кеплеровы переменные. Так как на основании формул (140) имеем
(141)
то преобразованные уравнения принимают вид
dL_____dH_dV_ f«?___c>tf==dV
dt dl ді ’ dt dg^ dg ’ de
dt дд дЬ ’
(U_dH_ _dV dg_dt1_ _dV dt dL П dL’ dt~ да ~ dG ’ rf6 =dtf_ _dV dt дв дв
72. Возмущения первого порядка. До тех пор пока не делается никакого предположения о функции V, преобразованная система (142) не представляет, конечно, никакого преимущества по сравнению с первоначальной; дело, однако, будет обстоять иначе, если, как это предполагается с самого начала, слагаемое V есть простая пертурбационная функция, т. е., по существу, остается малой по сравнению с первым слагаемым H0. Это, в частности, будет иметь место, если отдоліение V; Hsi можно рассматривать как количество первого порядка,
358
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
например, если V будет вида —гH1, где функция H1 сравнима с H0, a s есть очень малая численная постоянная. С обстоятельствами такого рода мы встречаемся в случае планетной системы, когда, фиксируя внимание на некоторой планете Р, рассматриваем Солнце как центральное тело, так что потенциал V происходит от притяжения других планет. Так как взаимные расстояния сравнимы, а масса Солнца, наоборот, значительно больше массы планеты, то отношение V: H0 в этом случае будет того же порядка величины, что и очень малое отношение между массой возмущающих планет и массой Солнца.
Обращаясь теперь к канонической системе (142), заметим, что первое слагаемое H0 характеристической функции H зависит исключительно от аргумента L. Чтобы выяснить, какую выгоду можно извлечь из этого обстоятельства в отношении определения возмущенного движения, обобщим постановку задачи, обращаясь к канонической системе с я степенями свободы и с характеристической функцией H = H0—V; предполагая функцию V бесконечно малой по сравнению с H0, допустим еще, что это первое слагаемое зависит только от переменных одного из двух рядов, например только от р. Речь, следовательно, будет идти о системе вида
