Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы вычислить осевой кинетический момент К, заметим, что на самом деле интеграл моментов существует только в том случае, если центр приведения моментов берется в точке, неизменно связанной с галилеевой системой отсчета (или в центре тяжести); в нашем случае, когда начало галилеевой системы выбрано в центре тяжести (находящемся в равномерном и прямолинейном движении), имеем Q1 = Q2 = Q3 = 0, поэтому при равенстве нулю результирующей количеств движения выбор центра моментов является совершенно безразличным, и если возьмем этот центр в теле P0, то для интеграла моментов найдем явное выражение
где Jf1, yv и Jf2, уа обозначают координаты точек P1 и P2 относительно точки P0.
Теперь мы в состоянии изучить наиболее простым образом ооа установившихся движений, существование которых при этой постановке задачи согласно п. 53 обеспечено существованием интеграла
(109). Эти движения, если ввести множитель со, который следует рассматривать как неопределенную пока функцию времени, определяются на основании п. 56 символическим уравнением
где <о — неопределенный множитель; если принять во внимание, что в выражении (96') функции H координаты Xi, yt входят только в потенциал U, то последнее уравнение эквивалентно восьми уравнениям
а
к = 2 (*іЯі —УіРі) = const,
(109)
і=I
ЬН—тЬК = 0,
(г = 1,2), (110)
(111)
Далее, на основании канонических уравнений
(112)
S 10. ПРИМЕРЫ
331
уравнения (110) преобразуются в уравнения
Xi = -у{ = (OXi (1=1,2),
которые истолковываются непосредственно: обе точки Pu Pa движутся по окружностям вокруг точки P0 с одной и той же угловой скоростью 0).
Отсюда следует, что три расстояния A1, A2, А остаются неизменными, т. е. конфигурация трех тел Po, Pu P2 остается неизменной во время движения.
Для определения этой конфигурации надо принять во внимание также и уравнения (111). Если, после того как мы придадим явную форму уравнениям (110) при помощи уравнения (96'), умножим в них обе части на ш и исключим (арь (Oqi при помощи (111), то придем к уравнениям
где уравнения (И2б) выводятся из (112а) посредством замену х на У, уравнения (112а), выраженные в явной форме на основании выражения (97) функции U, принимают вид
т. е. сводятся к двум линейным однородным уравнениям относительно X1, х2, которые в силу уравнений (112б) должны удовлетворяться также и величинами Jf1, у2.
Таким образом, мы пришли к необходимости различать два случая:
I. Оба решения Jf1, Jc2 и уи у2 уравнений (112') различны, т. е. определитель Jfj_y2—Jf2^1 отличен от нуля или, если угодно, неизменная конфигурация P0P1P2 есть треугольник.
II. Оба решения совпадают, т. е. три точки P0P1P2 остаются на одной прямой линии.
Случай I. Так как уравнения (112') допускают два различных решения, то все четыре коэффициента при неизвестных должны быть равны нулю, откуда прежде всего имеем
332
ГЛ. X. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
так как A1 = Д2 = Д; после этого остальные два условия, выражающие равенство коэффициентов нулю, принимают один и тот же вид
где т = т0 -j- Ot1 -j- Щ- Поэтому мы заключаем, что треугольник P0 P1P2, как уже отмечено, неизменный, будет равносторонним и угловая скорость ш, с которой он вращается, постоянна и связана с длиной Д стороны треугольника соотношением (113).
Почти излишне добавлять, что, так как центр тяжести системы неподвижен (относительно нашей галилеевой системы отсчета), абсолютное движение треугольника P0 P1 P2 представляет собой равномерное вращение вокруг этого центра (ср. гл. III, пример 16).
Следует, однако, отметить, что это движение на самом деле зависит от двух произвольных постоянных: Д или, если угодно, <в, связанной с А уравнением (113), и постоянной, определяющей начальную ориентацию треугольника в его плоскости относительно некоторого неподвижного направления.
Случай II. Если в некоторый момент мы примем за ось х прямую, на которой находятся в этот момент три тела, то будем иметь JJ1=JZ2 = O1 поэтому нет необходимости более заниматься координатами у. Для определения х можно предположить, не нарушая общности, что точка P0 заключена между точками P1 и P2 и что положительная сторона оси х направлена от P0 к P1. Тогда будем иметь Д, = Jf1, Д2 = — х2, A = X1 — X2 = A1-J- ^a> так что уравнения (112') примут вид
отсюда мы видим, если оставить пока в стороне вопрос о совместности этих двух уравнений и о действительности угловой скорости ш, что эта угловая скорость в силу неизмейности величин A1, Д2, А является и в этом случае постоянной, т. е. и здесь мы имеем равномерное вращение.
Что же касается вопроса о совместности уравнений (112"), то, исключая из них <о2, мы получим условие
(ИЗ)
(112")
\ fK + mi)Aa —+ Д2]2 + от2Д2Д| ^
\ Kffi9+mJ A'i—тхА|] [ді+А/+mAaAI ~°
§ 10. ПРИМЕРЫ
333
которое будет уравнением пятой степени и однородным относительно A1, A2. Полагая А = A2JA1, найдем уравнение (Лагранжа)
(OT0 + OT1) Л5 + (2OT0 3OT1) Ai + (OT0 + 3OT1) Aa+
+ (от0 -J- 3Ot2) Л2 — (2от0 3Ot2) Л — (от0 + от2) = О,
