Механика космического полета в элементарном изложении - Левантовский В.И.
Скачать (прямая ссылка):
61
ческого аппарата на любом расстоянии г от центра притяжения:
' (3)
или
"=tHrO--г)' (3а)
где K=fM — величина, характеризующая поле тяготения конкретного небесного тела (гравитационный параметр). Для Земли K= =3,986005-105 км3/с2, для Солнца K= 1,32712438-IO11 км3/с2.
§ 5. Траектории в центральном поле тяготения
Путь, описываемый космическим аппаратом (точнее, его центром масс) в пространстве, называется траекторией или орбитой. Все многообразные формы траекторий можно разделить на четыре группы.
1) Прямолинейные траектории. Если начальная скорость равна нулю, то тело начинает падение в направлении к центру по прямой линии. Движение по прямой линии будет и в том случае, если начальная скорость направлена точно к центру притяжения^ или в прямо противоположном направлении, т. е. если скорость радиальна х). Во всех остальных случаях прямолинейное движение невозможно (исключение представляет гипотетический случай движения с бесконечно большой скоростью).
2) Эллиптические тра]ек-тории. Если начальная скорость направлена не радиально, то [траектория уже не может быть прямолинейной, так как искривляется притяжением Земли. При этом она лежит целиком в плоскости, проведенной через начальное направление скорости и центр Земли.
Если начальная скорость не превышает некоторой величины, то траектория представляет собой эллипс, причем центр притяжения находится в одном из его фокусов (рис. 15). Если эллиптическая орбита не пересекает поверхности притягивающего небесного тела, космический аппарат является его искусственным спутником.
х) Радиальное направление совпадает с вертикальным, если пренебречь сплюснутостью Земли и считать ее поле тяготения центральным. 62
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЙ ПОЛЕТ B ПОЛЯХ ТЯГОТЕНИЯ
Расстояние между вершинами эллипса называется большой осью х). Половина большой оси («большая полуось») принимается за среднее расстояние спутника от небесного тела и обозначается буквой а. Скорость v и расстояние г спутника от центра притяжения в любой момент времени (в частности, в начальный) связаны со средним расстоянием а зависимостью (приводим ее без доказательства)
" = X(T-I)- <4)
Период обращения P искусственного спутника вычисляется по формуле
P=2*VJ_ = аз/2 (5)
Vк VK к '
или
P = C j/o5, (5а)
где C = 2ji/J/7C—определенное число для каждого небесного тела.
Отношение расстояния между фокусами к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой е.
Из формулы (4) видно, что чем больше начальная скорость, тем больше большая ось орбиты и тем больше, в соответствии с формулой (5), период обращения. При этом для одного и того же г0 при направленных в разные стороны скоростях одинаковой величины U0 получаются орбиты с одинаковыми периодами обращения и большими осями.
Ближайшая и наиболее удаленная от центра притяжения точки эллипса (Я и Л на рис. 15) называются соответственно перицентром и апоцентром, а прямая линия, их соединяющая, линией апсид.
Для конкретных притягивающих центров эти точки носят специальные названия. Так, если притягивающим телом является Земля, то перицентр и апоцентр называются соответственно перигеем и апогеем; если Солнце — перигелием и афелием', если Луна — периселением и апоселением. Скорость в перигее (v„) максимальна, в апогее (а,) — минимальна, причем эти две скорости связаны соотношением
Vn = Va, (6)
где гп и га — расстояния в перигее и апогее. Скорости в перигее и апогее перпендикулярны к направлениям на центр Земли. Для
х) В соответствии с определением эллипса сумма расстояний любой его точки от фокусов равна большой оси эллипса. Этим свойством эллипса удобно пользо-
ваться при его вычерчивании. § 5. ТРАЕКТОРИИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
63
всех остальных точек эллипса верно соотношение
vr cos a = vnr„ = va ra (7)
или
vr cos а = v0r0 cos а0 (7a)
(нули в индексах указывают начальные величины). Здесь в левых частях стоят произведения расстояний г на трансверсальные составляющие скорости V cos а, т. е. на проекции скорости на перпендикуляр к радиальному направлению х) (рис. 15).
Если умножить левые и правые части равенства (6), (7) или (7а) на массу т космического аппарата, то легко убедиться, что эти равенства выражают закон сохранения момента количества движения космического аппарата. Моментом количества движения относительно какой-либо точки (в данном случае относительно центра притяжения) в механике называется произведение количе- vX
ства движения mv на величину перпендику- V
ляра, опущенного из точки на линию, ука- nL—L-JlL А.-----L
зывающую направление скорости (в данном J J
случае величина этого перпендикуляра рав- 0 /
на г cos а).
Рассмотрим практически важные случаи,
КОГДа НачаЛЬНЫе СКОРОСТИ ТраНСВерсаЛЬНЫ орИбить!6пр„ЭтрТсверсалье-(рис. 16). При ЭТОМ, очевидно, начальная иых начальных скоростях:
• у / — внешняя 2 -- BHVT-
точка Nо должна быть перигеем ИЛИ апоге- реиняя, 3 - круговая, ем. Первое будет в том случае, когда начальная скорость достаточно велика (больше некоторой величины), чтобы спутник мог начать удаляться от Земли на пути к апогею (орбита 1 на рис. 16). Второе будет в случае, когда скорость меньше той же величины (орбита 2); при этом, очевидно, возможно падение на Землю (если перигей окажется под земной поверхностью или ниже плотных слоев атмосферы). «Пограничным» является случай, когда начальная скорость такова, что спутник не поднимается и не опускается, т. е. описывает круговую орбиту 3 (частный случай эллиптической) с постоянной круговой скоростью г/кр.
