Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому тепловые колебания любого атома передаются соседнему, и
таким образом по всему телу во всевозможных направлениях
распространяются упругие волны. Эти волны отличаются друг от
друга не только направлением распространения, но и своей длиной,
**>: наиболее короткие имеют длину X, равную удвоенному
расстоянию между соседними атомами; наиболее длинные имеют
длину X, равную удвоенной длине кристалла L. Скорости их
распространения ***) даф связаны с длиной волны и частотой
колебаний v соотношением
w(jl = Xv, (1.60)
*) Нарисованная здесь картина очень упрощена, см. подробнее гл. 2 и
6.
**) Кроме этого, волны отличаются друг от друга поляризацией; для
заданной длины волны и направления существует три вида колебаний: два
поперечных и одно продольное.
***) речь идет о фазовой скорости.
46
Т. е. qactota каждого колебания обратно пропорцйональна длине
волны:
В теории колебаний обычно вводится понятие волнового числа q
= 1 А, равного числу волн, укладывающихся на единице длины, и
волнового вектора q, равного по абсолютной величине волновому
числу и совпадающего с направлением распространения волны.
Остановимся коротко на факторах, определяющих теп-
лопроводность решетки. Если бы кристалл был совершенно
идеальным (т. е. не имел бы никаких дефектов), а атомы были бы
связаны друг с другом силами F, строго подчиняющимися закону
Гука:
р = _/JL=fo = -(1.62)
где f - коэффициент упругой связи; х0 - нормальное расстояние
между покоящимися атомами (т. е. постоянная решетки х0 = а) и Ах
- изменение этого расстояния, то колебания были бы строго
периодическими (гармоническими); при этих условиях упругир
волны совершенно не взаимодействовали бы при встрече друг с
другом и проходили бы "одна сквозь другую" так же свободно, как
лучи света в пустоте.
Если в таком идеальном кристалле можно было бы создать
перепад температур, то атомы, находящиеся на горячем конце и
колеблющиеся с наибольшими амплитудами, передавали бы свою
энергию соседним и фронт тепловой волны распространялся бы со
скоростью звука вдоль всего кристалла. Так как при этом тепловая
волна не встречала бы на своем пути никакого сопротивления, то
для создания бесконечно большого потока тепла достаточно было
бы бесконечно малого градиента температуры; теплопроводность
такого кристалла была бы бесконечной*). Но таких идеальных
кристаллов не существует. В реальных же кристаллах сила
взаимодействия соседних атомов лишь в первом приближении (при
очень небольших смещениях Ах) может быть представлена
уравнением (1.62).
*) Точнее, при отсутствии взаимодействия между колебаниями нельзя
бы было ввести понятие температуры, а следовательно - и
теплопроводности.
47
В действительности же F выражается через Ах бесконечным рядом
F-'-tw+g(^T+--- <'-63)
и чем больше изменение расстояния (амплитуда колебаний) Ах, тем
большее значение приобретают последующие члены ряда.
При упругих деформациях кристалла под влиянием внешнего
воздействия смещения Ах бывают обычно очень малы;
следовательно, вторым членом в (1.63) можно пренебречь, и
поэтому в данном случае соблюдается закон Гука (1.62).
При рассмотрении тепловых колебаний необходимо (и обычно
достаточно) учитывать второй член в разложении (1.63); при этом
значение его тем больше, чем больше коэффициент g, называемый
коэффициентом ангармоничности, и чем больше амплитуда
колебаний (т. е. чем выше температура). Наличие этого члена
приводит к двум важным следствиям:
- Среднее расстояние между атомами в реальном кристалле
растет с повышением температуры, причем коэффициент теплового
расширения пропорционален коэффициенту g;
- колебания атомов перестают быть строго гармоническими
и в результате этого не могут распространяться независимо, а
напротив, при встрече друг с другом рассеиваются, т. е. меняют
направление своего движения и обмениваются энергией.
В реальных твердых телах, кроме этого, всегда имеются
дефекты (примеси, пустые узлы и атомы в междуузлиях,
дислокации, границы зерен в поликристаллических материалах), на
которых также рассеиваются упругие волны.
Поэтому теплопроводность реальных кристаллов имеет
конечную величину, зависящую от того, в какой мере
перечисленные выше факторы (ангармоничность колебаний и
дефекты) затрудняют распространение тепловых волн.
Для любых волн, точно так же, как и для частиц, можно ввести
понятие длины свободного пробега I; в данном случае это
расстояние, на котором волна один раз рассеивается, т. е. изменяет
направление своего движения *).
*) Точнее, это то расстояние, на котором амплитуда волны в результате
рассеяния уменьшится в е раз.
48
При низких температурах длина свободного пробега упругих волн
ограничивается рассеянием на дефектах, при высоких -
рассеянием друг на друга (вследствие их ангармоничности).
Дебай в 1915 г. вывел формулу для теплопроводности
кристаллической решетки, совершенно аналогичную по внешнему
