Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(150) заменить р8^ точным тензором напряжений рц. В учебниках по
кинетической теории показывается, что в совершенных газах, определяемых
уравнением (23), тензор напряжений можно рассматривать как осредненный
избыточный поток количества движения, конвективно переносимый большими
флуктуациями скоростей молекул относительно средних значений,
представляемых скоростью жидкости ut.
В линейной теории учитывается только поток количества движения,
обусловленный напряжениями р1}, так как рutUj включает произведение малых
величин. Для плоских волн, распространяющихся, например, в направлении хи
на которых мы остановимся в силу соображений, приведенных выше,
единственной важной составляющей рц оказывается рп.
102
1. Звуковые волны
Действительно, все величины в такой плоской волне не зависят от х2 и х3,
так что линеаризованное уравнение количества движения
р0 dujdt = - др111дх1 (197)
выражает равенство скорости изменения ^-составляющей количества движения
и взятого с обратным знаком градиента х±-составляющей потока количества
движения, в то время как линеаризованное уравнение неразрывности (5)
сводится к соотношению
dp'dt = - ро дирдх-у, (198)
связывающему только р и щ. Из уравнений (197) и (198) вытекает довольно
простое соотношение, связывающее р и р1х:
d2p/dt2 = д2рп!д.х\. (199)
Если при малых возмущениях рХ1 отличается от невозмущенного давления р0
на величину с2 (р - р0), кратную избыточной плотности, как это следует из
соотношения (196) для невязких жидкостей и формулы (37) для обратимых (с
постоянной энтропией) процессов, то уравнение (199) будет одномерным
волновым уравнением. Однако можно получить более точное соотношение, если
принять, что рХ1 может меняться не только в зависимости от
р, но также и в зависимости или от dpIdt, или от
дирдхх. Поскольку две последние величины в силу (198) пропорциональны,
такую зависимость в линеаризованном виде можно записать как
Рп - Ро = с2 (р - ро) + bdpldt, (200)
где первый коэффициент с2 остается прежним, поскольку изменения, которые
не являются слишком резкими, должны удовлетворять соотношениям для
течений невязкой жидкости с обратимыми процессами.
С помощью коэффициента б можно учесть вязкость (анизотропность тензора
напряжений, позволяющую рХ1 превышать другие составляющие, когда
производная ди11дх1 отрицательна) или необратимость, обусловленную
запаздыванием при установлении термодинамического равновесия (с помощью
члена dp/dt, учитывающего отставание изменений плотности от изменений
давления), но из уравнения (198) видно, что в экспериментах с плоскими
звуковыми волнами эти два эффекта различить невозможно; это
обстоятельство привело к такому термину, как "объемная вязкость", который
используется для описания второго эффекта и который мы стараемся здесь не
употреблять. Оба вклада в б и менее очевидный вклад, обусловленный
теплопроводностью, изучаются ниже после краткого
1.13. Диссипация акустической энергии
103
анализа следствий уравнения (200), касающихся распространения звука.
Для акустической энергии W на единицу объема, задаваемой в виде суммы
(47) и (50), или, в частности, для плоских волн в виде
W = - p0ul + - (р - р0)2 c2p~S (201)
в силу формул (197), (198) и (200) получаем, что = - щдр^дху - с2 (р -
р0) ди1/дх1 =
= - д [{р1г - ро) и1]/дх1 + [рп - ро - с2 (р -
- р0)] ди11дх1 -
= -д11дх1 - р08 (dujdxх)2, (202)
где I - поток энергии, обусловленный мощностью избыточного напряжения -
р0; уравнения (200) и (198) использованы здесь для того, чтобы показать,
что последний член существенно отрицателен. Таким образом, уравнение
(202) помимо изменений, обусловленных потоком энергии I, дает
дополнительную скорость диссипации акустической энергии на единицу
объема, равную
р08 (дщ/дх^2. (203)
Тот факт, что диссипация энергии пропорциональна квадрату градиента
скорости, как в формуле (203), приводит, как будет видно, к двум
следствиям. Для волн произвольной формы четко выраженные максимумы
скорости диссипации всюду, где градиенты дих!дхх оказываются особенно
большими, имеют тенденцию уменьшать такие большие градиенты. Кроме того,
для бегущих волн синусоидальной формы влияние диссипации очень
существенно зависит от частоты ю. Действительно, средняя скорость
диссипации (203) для таких волн равна отношению б (со/с)2 к средней
акустической энергии (51), что на каждом периоде 2л/со распространения
волны дает относительную потерю акустической энергии, равную
2лсоб/с2. (204)
Как было указано выше, мы будем рассматривать только такие частоты, при
которых относительные потери акустической энергии (204) за один период
или на одной длине волны малы по сравнению с единицей. Тогда любое
локальное соотношение между величинами в звуковой волне, подобно самой
формуле (51), будет служить хорошим приближением в рассматриваемой
теории.
104
1. Звуковые волны
Уравнение движения, выведенное из уравнений (199) и (200), имеет вид
d2p/dt2 - с2дгр/дх\ + bd3pldx\dt. (205)
