Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
амплитудного пика: ряд расче-
556
Эпилог
тов предсказывает, что он возрастает от своего начального значения на 24-
57%.
Рост медленной модуляции волн умеренной амплитуды был впервые
экспериментально продемонстрирован в работе Бенджамена и Фейра. Было
обнаружено, что на поздних стадиях развития (после достижения гребнем
заостренной формы) наблюдаются сложные изменения кривой модуляции.
Напротив, те модуляции, которые были недостаточно плавными, не растут. В
современных, улучшенных теориях дисперсии в плотность лагранжиана (52)
вводится дополнительный член, пропорциональный квадрату от градиента
амплитуды, и они дают намного лучшее согласие с этим и аналогичными
экспериментами.
Уизем развил также вариационный метод для волн на мелкой воде. В нем
потенциал скорости может содержать медленно меняющуюся апериодическую
часть Ф, соответствующую среднему значению, градиент которой дФ/дх = s
представляет собой среднее значение скорости горизонтального течения,
создаваемого волнами. Усредненная плотность лагранжиана принимает вид
X (со, к, г|, s), где т) = - дФ/dt, (88)
что приводит к системе из двух ур авнений" Эйл ер а
JL/2^.') =JLiJ/JL] JL (!%-.\ =_?_ (!И\ (rq\
dt \ д(0 ) дх { дк ) ' dt { дг\ ) дх^\ ds ) ' ' '
Неустойчивость волн умеренной амплитуды обнаруживалась тогда и только
тогда, когда отношение длины волны к глубине k/h было меньше 4,6.
Перейдем теперь к волнам, для которых значения параметра k/h лежат в
диапазоне (примерно) от 10 до 20; иногда их называют "весьма длинными
волнами". Так как дисперсия этих волн мала, хотя ей еще нельзя полностью
пренебречь, то в этом случае применима нелинейная теория распространения
длинных волн, описанная в гл. 2, если внести в нее сравнительно небольшие
изменения.
Для таких "весьма длинных волн" (с kh < 0,63) хорошей аппроксимацией
взятого из линейной теории значения скорости волны
с = (gk "xth /с/i)1/2 (90)
служат два члена его тейлоровского разложения, т. е. формула
c = c0(l-\kw), (91)
где с0 - (gh)1/2. Для волновых систем е небольшой дисперсией отклонение
скорости волны от постоянного значения с0 давае-
Часть 2. Нелинейные эффекты
557
мого линейной теорией, часто описывается таким членом с к2. Это означает,
что волны, распространяющиеся в положительном направлении оси х, близки к
решениям уравнения
dv/dt + c0dv/dx + ad3vldx3 = 0, (92)
здесь о - постоянная, принимающая для "весьма длинных" волн значение
cr =^rc0h2. (93)
Эти замечания подсказывают, как нелинейную теорию одномерного
распространения волн (гл. 2) можно видоизменить для изучения систем с
малой дисперсией, такой, что соответствующая линейной теории скорость
волны равна с0 - ок2 при волновом числе к. В гл. 2 приращение скорости
волны, обусловленное нелинейностью, обозначалось через у, и для описания
недиспергирующих нелинейных систем использовалось уравнение
dv/dt + (с0 + у) dvldx = 0. (94)
(Для длинных волн v = (3/2) и, где и - скорость жидкости.) Объединив
идеи, выражаемые уравнениями (92) и (94), чтобы учесть малые изменения
скорости волны, вызванные кап нелинейными, так и дисперсионными
эффектами, получим знаменитое уравнение Кортевега - де Фриза
dv/dt (с0 у) dvldx + od3v/dx3 = 0, (95)
которое в конце девятнадцатого века было предложено этими авторами для
изучения весьма длинных волн. С тех пор оно применялось ко многим
нелинейным волновым системам с малой дисперсией. Иногда используется
координата X = х - c0t, чтобы перейти в систему отсчета, движущуюся с
основной скоростью волны с0 (гл. 2). Тогда уравнение принимает вид
dv/dt + vdv/dX -f- ad3v/dX3 = 0. (96)
Хотя теория решений уравнения Кортевега - де Фриза (96) очень обширна,
она изложена в настоящей книге менее подробно, чем нелинейная теория волн
на глубокой воде; отчасти это вызвано тем, что уравнение, в котором
игнорируется диссипация, сравнительно менее пригодно для случая мелкой
воды, когда существенно трение о дно. Здесь в центре внимания будут
наиболее важные изменения выводов гл. 2, связанные с наличием дисперсии.
В уравнении (96) существенность нелинейного члена vdv/dX по сравнению с
дисперсионным членом ad3v/dX3 зависит от безразмерного параметра у1Х2/а,
где уг - наибольшее ирира-
558
Эпилог
щение скорости волны, а к - характерное значение длины волны. В силу
формулы (93) этот параметр пропорционален величине
ak2!h3, (97)
поскольку vJcq пропорционально отношению амплитуды волны а (определенной
так же, как в формуле (49)) к средней глубине h.
Решения уравнения (96) показывают, что когда этот параметр ak2lh3
достаточно велик (больше, чем примерно 16), то сдвиговое искажение
волнового профиля, обусловленное нелинейностью, может прогрессивно
увеличивать крутизну переднего фронта волны (фаза сжатия) в точности как
описано в гл. 2. Обсуждение возникающего в результате гидравлического
прыжка будет продолжено ниже.
Напротив, для значений ak2/h3, меньших 16 (например, при k/h = 12 и а <
(1/9) К), оказывается возможным установление равновесия между дисперсией
