Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
на глубокой воде. Сплошные линии - значения скорости волны с, энергии
волны W и ее кинетической и потенциальной составляющих Wr и Wp для волн
длины 2зх/Аг и меняющейся амплитуды' а (определенной по формуле (49)).
Штриховая линия - см. ниже соотношение (76).
Расчеты, показывающие, как эти волны меняются с амплитудой, определяемой
выражением
связаны с очень сложным вычислением коэффициентов рядов Фурье и
применением хитроумных высокоточных методов ускоренного суммирования
рядов. Мы дадим лишь конечный результат.
Существование волн возможно для всех значений а вплоть до максимального
значения
Скорость волны]меняется от значения (43), даваемого линейной теорией, до
величины, лишь в 1,092 раза большей при а = ашах (рис. 113). Волновой
профиль остается симметричным относительно гребня, но все больше
отклоняется от синусоидального по мере возрастания а до атах (рис. ,114).
В пределе a атах верхушка гребня принимает вид угла, величина которого
равна 120°. В вершине этого угла вода неподвижна относительно гребня,
причем квадрат её скорости линейно возрастает с рас-
35-01100
(49)
Яшах = 0,0706Я,.
(50)
I ч.
Эпилог
Рис. 114. Волновые профили периодической гравитационной волны с
амплитудой а на глубокой воде. В используемом масштабе все вертикальные
размеры увеличены по сравнению с горизон-* . тальными в 2' раза.
Штриховой линией отмечена плоск'ость симметрии на каждом гребне, а1 -
невозмущенная поверхность воды; •'? - волновой профиль для а - 0,015 К; с
- волновой профиль длй а = 0,050 К; d - волновой профиль для а - = 0,065
К; е - волновой профйль для максимальной амплитуды а = 0,0706 X.
стоянием от вершины таким образ.ом, чтобы могло удовлетворяться
соотношение (46).
На рис. 113 изображены графики зависимостей от ка безразмерных форм
энергии волны на единицу площади W
-. = (Р^)-1 WkA2 + (р^)-1 WPk2 (51)
и ее составляющих кинетической й'Потенциальной энергий Wk и Wp. Здесь,
как обычно, к = 2я/Я, так что катах = 0,444. Мы видим, что волны обладают
нё* Только максимальной амплитудой, но и максимальной энергией (этот
максимум достигается в действительности при немного меньшей амплитуде,
когда ка = 0,429). При энергиях выше этого значения начинают действовать
дополнительные механизмы диссипации энергии, характеризуемые появлением
пены ("барашков") вследствие захвата воздуха водой. '
1 • Вместо того чтобы исследовать это разрушение целостности поверхности
воды при превышении плотностью энергии волн определенного значения, мы
исполП&уем свойства, на которые указывают рис. 113 и 114, чтобы
предложить некоторую общую теорию; Вта теория применима к лйбой
консервативной системе,
Часть 2. Нелинейные эффекты
547
допускающей однонаправленное распространение, при котором периодические
волны могут существовать для любых значений волнового числа из некоторого
заданного интервала (здесь % >0,1 м, чтобы можно было пренебречь
поверхностным натяжением) и для любой амплитуды из другого заданного
интервала (здесь 0 <1 а <1 Птах)-
Рис. 113 показывает, что хотя в линейной теории кинетическая и
потенциальная энергии WK и Wp на единицу площади с необходимостью равны,
нелинейные эффекты заставляют их тем не менее отличаться друг от друга.
Разность
X = WK - WP, (52)
важность которой,как могло бы показаться на основании рис. 113,
незначительна, дает ключ к более широкому пониманию нелинейных эффектов в
диспергирующих системах. В формуле (52) рукописное X используется для
обозначения плотности лагранжиана. В курсах по механике показывается, что
свойства любой консервативной механической системы могут быть целиком
описаны с помощью уравнений Лагранжа через лагранжиан L. Он по
определению есть разность кинетической и потенциальной энергий системы,
рассматриваемая как функция ее обобщенных координат qn и их производных
по времени qn (обобщенных скоростей). Принцип Гамильтона устанавливает,
что уравнения Лагранжа эквивалентны вариационному принципу, а именно:
интеграл по времени от лагранжиана
t2
^ L. dt, (53)
и
стационарен при любых малых вариациях обобщенных координат,
рассматриваемых как функции времени, если их вариации на концах и ?2
временного интервала равны нулю.
Мы кратко опишем распространение этой теории на волновое движение в
консервативной системе. Мы ограничимся исследованием одномерного
распространения в пространственно однородной системе, хотя теория легко
обобщается и на случай распространения в двух или трех измерениях, а
также на системы, свойства которых в масштабе длины волны меняются
плавно.
Для описания системы волн мы будем использовать дискретные обобщенные
координаты qn, которые, однако, являются теперь функциями как времени t,
так и расстояния х в направлении распространения. Лагранжиан
L = L(qn, dqjdt, ддп/дх) = L (qn, qn, q'n) (54)
35*
548
Эпилог
определяется теперь как разность между кинетической энергией и
потенциальной энергией, отнесенная к единице длины. Он зависит не только
