Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Hm MziZCfoL = 4. (16)
Z^z0 z — zO
Число А называется производной функции f(z) в точке Z0 и
обозначается через f\z0)или [-?^ ]z ' HJIH[^]Z " ®УНКЦИЯ
f(z) называется аналитической в области D, если f(z) обладает в каждой точке D конечной производной /' (z) и если эта производная непрерывна в D.
На дифференцируемые функции комплексного переменного автоматически распространяются все правила дифференциального исчисления:
(/i±/.)' = /i±/i, W1)' = * 'Л (ft = COnst),
fh\ _ ht\- fiti V/2 J /I ' {/[?(«)]}'=/' [?(«)]•?'(*)•
Найдём теперь условия, которым должны удовлетворять действительная и мнимая части функции
W =/(z) = и (ж, y) + iv(x, у), (17)
для того, чтобы она была дифференцируемой. Найдём пре-
f (z\_f (z)
делы отношения -l^j-—-^l для двух случаев: I) z = z0-\-h,
Z Z0
11 где А—действительное число, тогда
Hmт=ШяHm /(* + *>-/'%> ig,
z->z0 2^2O h-> 0 h дх дх
и 2) z = 70 + ih, тогда
lim f(z) -"f (Zo) = lim / (? + th)-f (Z0) ^ dv __ . дц Z_Z0 ^0 ih ду oy'
При наличии предела (16) оба полученных выражения должны совпадать, следовательно, для дифферениируемости функции необходимо выполнение условий:
ou_dv du_ dv МЯЧ
ох ду ' oy дх " Vv/
Уравнения (18) называются уравнениями Коши-Римана. Для того, чтобы функция (17) была аналитической, необходимо, чтобы её действительная и мнимая части удовлетворяли системе уравнений в частных производных (18).
Допустим теперь, что условия (18) выполнены и что du ди dv dv , / ч Л
дх' Ъуу dx и ду непРеРь1вны> покажем, что тогда f(z) ана-
литична в D.
В самом деле, положив Z0 = Az = Ax + iAy, имеем / (z) - f (?) = и (х0 + Ах, у0 + Ay) + IV (х0 + Ах, у ? + А у) -
— и (х01 y0)-iv(xQ, у0)
или, применяя формулу Тейлора к функциям действительных переменных и(х, у) и V (х, у):
где P = IAzi', а є —>0, при р—>0. Подставляя сюда вместо Ov ди ,ло\
— и Yx их выражения из (Io)y получим
./ (Z0 + Д*) - /(Z0) = (% + і g) Az + Sp, (19)
что после деления на Az и предельного перехода даёт существование искомой производной:
/, / ч du . -dv dv .ди /оа\
/' (z) = — +1 г- = -— г — . (20)
1 v 7 дх 1 ax oy ду v 7
12 Согласно (19) выражение
даёт главную линейную часть приращения функции. Это выражение будем называть дифференциалом функции:
dw = df (z) = f (z) bz = Г (z) dz. (21)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что все введённые выше элементарные функции дифференцируемы [их действительные и мнимые части удовлетворяют системе (18)]. Кроме того, для вычисления их производных можно пользоваться формулами дифференциального исчи-
dzk 1 d sin Z сления: ^ = Uz , dz =Cos z, и т. д.
Допустим, что функции и и V обладают непрерывными частными производными второго порядка. Дифференцируя (18) по а; и по у, получим
дги дЧ dhi дЧ
следовательно
аналогично
дх2 дх ду 1 ду2 дх ду '
<22>
A.-S + S-0- <22')
Функции и, и, удовлетворяющие уравнениям (22), (22'), называются гармоническими. Если гармонические функции связаны соотношениями (18), то они называются сопряжёнными. Таким образом, действительная и мнимая части аналитической функции суть сопряжённые гармонические функции.
4. Интеграл и теорема Боши. Пусть в односвязной области D задана аналитическая функция f(z) и гладкая линия Yi По определению принимаем
^ f(z)dz~ ^ и dx — V dy rf- if ^ и dy + v dx. (23)
Область D называется односвязной, если всякий замкнутый контур, входящий в Di ограничивает область, также входящую в D.
13 Но так как, согласно (IH)7 и dx — с du п и dy -]- о dx суть полные дифференциалы, то ^ / (z) dz зависит только от коорДи-
T
нат концов у- Если фиксировать один, конец y> а другой конец Y считать переменным (z), то интеграл (23) будет функцией z:
F (z) = (z) dz. (24)
Нетрудно видеть, кроме того, что
V (Z) = f (Z). (24')
Следовательно, интеграл от аналитической функции есть фуикция также аналитическая, причём её дифференциал равен подинтегральному выражению.
Если, в частности, контур y замкнут, мы получаем важную теорему Кош и:
Пусть y~замкнутый контур без кратных точек и f(z) - функция, аналитическая во всех точках области, ограниченной y, включая Y, тогда
\ І (z) dz = 0. (25)
Y
Теорема Коши допускает простое обобщение, важное для приложений.
Пусть в области D0, ограниченной замкнутым контуром Y0, расположены п замкнутых контуров Y1, Y2? • • •» Y«? кон~ тур Y/ ограничивает область Dj-. Пусть, кроме того, дана функция f(z), аналитическая во всех точках D0 и Y0 > Pac" положенных вне областей I)j. При этих условиях имеем
5 f(z)dz= 5 /(*)<& + 5 / ^ dz+ • • • + S /^rfz' (26)
Yo Yl Y2 Г/г.
где все интегралы берутся в направлении положительных обходов контуров х).
5. Формула Коши. К числу самых важных формул теории аналитических функций принадлежит ф о р м у л а К о ш и:
1) Положительным обходом Yj называется тот, при котором область Dj остаотся все время слева.
14 В условиях теоремы Koiuu для произвольной точки z области D имеем
= ш SBidt- (27)
