Физические парадоксы, софизмы и занимательные задачи - Ланге В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
направлении.
73
Таким образом, после постройки гидроэлектростанций и появления на Волге
участков с практически неподвижной водой длительность путешествий по ней
несколько сократилась.
Поезда метро, как известно, следуют строго по расписанию и приходят на
станцию через определенное время один за другим. Воспользуемся этим для
графического решения задачи.
На рисунке 31 изображена ось времени, началом которой выбрано 8 часов
утра. На оси треугольниками снизу обозначены моменты прихода поездов
нужного пассажиру направления, а треугольниками сверху-время прихода
поездов встречного направления. Частота следования выбрана равной одному
поезду за три минуты для обоих направлений.
Так как время прихода пассажира, по условию задачи, совершенно случайно,
то это событие может произойти как в интервале А\Ви так и в интервале
В\А2 (или соответственно в интервалы А2В2 и В2А3, А3В3 и В3Л4 и так
далее). Если пассажир приходит в интервал типа АВ, то первым на станцию
после его прихода прибудет поезд нужного направления, а для интервала ВА
сначала подойдет встречный поезд. Поскольку длительность интервалов
второго типа в два раза больше, то вдвое большей оказывается вероятность,
что пассажир придет на станцию во время него и первым встретит встречный
поезд. На другой станции и в другое время суток соотношения могут
оказаться иными.
Эта задача хорошо иллюстрирует плодотворность графического метода в
решении задач.
2
Л,
Время
Рис. 31
3
Этой задаче обычно даются самые противоречивые решения. По мнению одних,
сани будут оставаться на месте, другие полагают, что они должны все-таки
двигаться вперед.
Между тем правильный ответ таков - при данной формулировке задача вообще
не имеет решения.
Действительно, рассмотрим два крайних случая. Пусть трение между лентой
конвейера и лыжами саней отсутствует совсем. Тогда движение ленты
совершенно не скажется на величине скорости аэросаней, приводимых в
движение пропеллером. Сани будут как бы лететь над дорогой, и ее движение
никак не повлияет на состояние движения саней, как оно не может повлиять
на скорость парящего над дорогой самолета.
Во втором предельном случае очень сильного сцепления дороги с лыжами
аэросаней последние можно считать жестко связанными с конвейером. Тогда,
безусловно, сани будут двигаться в том же направлении и с той же
скоростью, что и конвейерная лента.
В промежуточных случаях возможны различные значения скорости саней. Может
оказаться, в частности, что положение аэросаней относительно окружающих
предметов останется со временем неизменным, то есть они будут стоять на
месте. Это будет в том случае, когда сила тяги воздушного винта будет
равна силе трения (сопротивление воздуха не учитывается). Однако такое
состояние будет неустойчивым, поскольку даже небольшой толчок в сторону
движения или навстречу ему, вызванный, например, неровностями на
конвейерной ленте, приведет сани в движение относительно земной
поверхности в направлении воздействия,
4
Поскольку лодка движется не в направлении действия веревки, значит, она
участвует в сложном движении. Результирующей скоростью этого движения
является скорость лодки, а скорость вытягивания веревки - это лишь одна
из составляющих. Каково же направление второй составляющей?
Направление второй составляющей скорости надо выбирать так, чтобы
движение вдоль него оставляло
75
Рис. 32.
абсолютное значение вектора скорости вереаки ав постоянным, изменяя лишь
его направление. Нетрудно видеть, что это будет только в том случае, если
направление второй составляющей будет образовывать с веревкой прямой
угол. В противном случае всегда возможно вторую составляющую v2
разложить, как это показано в левой части рисунка 32, еще раз так, что
одна из вновь появившихся составляющих v'2 будет изменять величину t'".
Из сказанного следует, что параллелограмм скоростей в данном конкретном
случае должен являться прямоугольником, в котором результирующая
направлена горизонтально, а одна из составляющих совпадает по направлению
с веревкой. Сделав соответствующий чертеж (правая часть рис. 32), находим
что и является правильным решением задачи.
Таким образом, хотя всякий вектор можно разложить по любым направлениям,
не всякое разложение будет иметь смысл. Разложение, показанное на рисунке
1,
COS а '
Рис. 33,
лишено физического смысла, поскольку результирующим является движение не
вдоль веревки, а по горизонтальному направлению, и разложению надо
подвергать именно его.
76
Особенно просто задача решается методами дифференциального исчисления.
Из треугольника ABC (рис. 33) имеем:
АВг = ВС2-\-АС2.
Продифференцируем это выражение по времени, полагая для краткости записи
АВ = 1, ВС=И к AC=s, Поскольку h постоянно, имеем:
Учитывая, что
получим:
25 Ж
-J- = cos а,
dl ds
-гг = -гг ¦ COS а.
dt dt
I, dl
Ho является скоростью вытягивания веревки vBt
ds ^ "
тогда как представляет собой скорость лодки va.
Поэтому
vB = ivcosa,
