Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Подставив (121,9) в (121,7), получим
Mf) = — -J z2a2u (/) [у°е + т) /, + \J] и (р), где введены обозначения:
7 _С___________________аЛ__________________
1 J [(р' - f)2 + б2] [(f - Р)2 + б2] [р2 - f2 + Ю] ’
(121,10)
J Up' — f)2 + 62] [(f - p)2 + 62] [p2 - f2 + /0)
Здесь p2 = e2 — m2 — p'2 и интеграл j симметричен по отношению к р и р'; из соображений векторной симметрии очевидно, что вектор J должен быть направлен вдоль р + р'. Исключив теперь матрицы у с помощью равенств
-ура =^(-у°е — m) и; й*ур' от),
598 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XTI
получим
Mff = - 4 Z2“2“ (/»') [v°e (/i + h) + гп (/, - /2)] u (р). (121,11)
Для проведения дальнейших вычислений перейдем (как и в § 80) от биспинорных амплитуд и и и' к соответствующим им (согласно (23,9) и (23,11)) 3-спинорам да и да'. Прямым перемножением находим
й'и = да'* {(е -f т) — (е — т) cos 8 -f iva (е — гп) sin 0} w,
й'\°и = да'* {(е + т.) + (е — т) cos 0 — iva (е — т) sin 0} да,
где
[пп'1 р / р' п /
*’--- — - II = -—Г , П =-г~гТ , COS0 = nn .
sin 0 ’ I р I ’ I р' I ’
После этого амплитуда (121,11) представится в виде1)
М$ = 4яда'* (A™ + B<2>vo) да,
Л{2) = ~ "2Z2“2 { Ке + «) + (а — «) cos 0] е (/, + /2) +
-f [(e -f m) — (е — m) cos0] т (/[ — /2)}, (121,12)
В{2) = Z2а2 (е — т) sin 0 [е (/t -f /2) ~ т (Л — /2)] •
Амплитуда же рассеяния первого приближения в аналогичных обозначениях имеет вид
= 4л,да'* (А<«> + ?3(1Н’о) да,
Л») = [(е + щ) + (е - m) cos 0], (121,13)
?<» = — / (е — т) sin 0,
где q = р' — р.
Сечение рассеяния и поляризационные эффекты выражаются через величины А = -f AW и В = В<1>4-В<2> формулами, полученными в III, § 140. Так, сечение рассеяния неполяризо-ванных электронов:
da = (| А |2 + | В |2) do' ~ da<» + 2 (A™ Re Л<2> - Ш<» Im В<2>) do'. После подстановки (121,12—13) простое вычисление дает
do<2» = - do7- ZWe-[0 “ v2 S‘n2D Re(/l + /2) +
+ -prR6(/i-/2)], (121,14)
*) Определение величин Л и В здесь соответствует определению в § 37 и в III, § 140 и отличается множителем от определения в § 80.
§ 121) РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ S.99
где v = р/е — скорость электрона, 0 — угол рассеяния. В результате рассеяния электроны поляризуются, вектор поляризации конечных электронов
= 2Rе(АВ') _ 2Ufl)Re 5(2)-/5fl)Im Л(2))
|Л|2 + |Я|2 ~ I Л(1, |2 + | В(1,|2 V’
или, после подстановки (121,12—13),
j., 4Zamp* sin 8 (9/2) cos (0/2) т , _
----Г--,2 Sin2(9/2) (121,Ь)
Перейдем к вычислению интегралов /i и ]2- Оно облегчается применением метода параметризации по формуле (131,2). Интеграл /i принимает вид
1 1 1
, =- о С С .С Г___________d*f rf§, dj2 d& ¦ 6 (i - fcj - §,-b)____
1 J J J J {[(P,-f)2 + 62]|1 + [(p-f)2 + 62]|2 + [f2-p2-/0]^}3-
0 0 0
Интегрирование по |3 устраняет 6-функцию; приведя подобные члены в знаменателе., получим
1 1-Ь
I 9 С С С ________________________d'fdhdl,______________________
3 J J (б2 (ii + Ы + Р2 (2|, + 2g2 — 1) — 2f (Sip'4-g2p)+f2—i0>3-0 0
Введя вместо ! новую переменную к— f—?(р'— |2р, сведем интегрирование по d3f к интегралу вида
С d3k . л2
I
J (к2 — аг — /О)3 4 а
так что
йхг ~2 1 1-5:
J 1 = --тгХ
J dbdt,
J q {р2 {&! + й --2Ei - 2|2 + l) + 2IiI2pp' - 6* (I, + Ы - ioyh •
Вместо |i и ?2 вводим симметричные комбинации: x = ^ + 1г> у = |i — Интегрирование по у (в пределах от 0 до х) элементарно и дает
600
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
Для вычисления интеграла по х при 6->0 разбиваем область интегрирования на две части:
Во втором же интеграле можно положить х = 1 везде,- кроме члена (1—х)2, а также положить 6 = 0 в первых скобках знаменателя. Тогда2)
При сложении обоих интегралов величина 6i, как и следовало ожидать, выпадает, и получается
Интеграл /г вычисляется аналогичным образом и равен
J.) Правило обхода (член Ю) позволяет определить изменение аргумента выражения под знаком логарифма при переходе от 0 к 1 — бь при обходе точки ветвления снизу аргумент меняется от 0 до —л.
2) И здесь правило обхода определяет знак корня при переходе от
положительных к- отрицательный значениям Подкоренного выражения.
i-e,
i-e,
о
о
В первом интеграле можно положить 6 = 0; тогда ')
i-e,
2(1 — b) 2х+ 1-Ю о
о
6i 6/1 Pi
* иъ
J' ~ 21 р |3 sin2 (0/2)
1п sin т) • (121>16)
J?.2_ in sin 1. (121,17)
21 р I3 cos2 у
§ 122) РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ 601
Остается подставить эти выражения в (121,14—15), и мы получим окончательные результаты:
da(2): er (1 - sin I) do', (121,18)
4 I p I3 sin
• з 0 , • 0
n-j i I sm 7Г In sm ~FT
t, = JS™JjLL -----------2 2 ^ v (121>19)
^1 — v2 sin2 —J cos —
''(F. A. McKinley, H. Feshbach, 1948; R. H. Dalitz, 1950).
В первом борновском приближении сечения рассеяния электрона и позитрона (в одном и том же внешнем поле) одинаковы. Во втором приближении эта симметрия исчезает. Для рассеяния позитрона (заряд +|е|) амплитуда первого приближения (121,6) имеет обратный знак, знак же не меняется. Поэтому сечение do^\ представляющее собой интерференционный член между и Mffi, изменит знак. То же самое произойдет и с выражением (121,19) для вектора поляризации. Вообще, переход от формул для рассеяния электрона к формулам для рассеяния позитрона можно произвести формальной заменой Z-*-—Z.
