Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XIГ
Для доказательства сделанного утверждения замечаем, что если мы интересуемся только членами ~е2, то преобразование от калибровки (119,13) к калибровке (119,12) можно считать бесконечно малым. Соответственно этому можно прямо воспользоваться формулой (105,14), положив в ней
а также заменив, с требуемой точностью, функции ^ в подынтегральном выражении на G. В интеграле по d*q будет существенна область q р\ при этом G (р — q) в подынтегральном выражении много меньше С(р),.и им можно пренебречь. Тогда
flgr1 = - G~2 (р) 69 (р) = - ie*G~l (Р) 5 d[l) (q) -jgr. Наконец, применив преобразование (131,11 —12), получим
«»"' w;— 41м S ~ - 4 (vp) >" f ¦
где A — вспомогательный верхний предел, расходимость на котором устраняется перенормировкой. Последняя состоит в вычитании того же выражения при р2 « т2, так что окончательно имеем
б2г‘ = -|1(ур)1п^-.
Это выражение как раз сокращается с разностью 1 — G-1 из
(119,11).
Наконец, остановимся на вопросе о причинах, приводящих к необходимости введения конечной «массы фотона» К при регуляризации интеграла (119,2), тесно связанной с его поведением при р2-+т2.
Прежде всего отметим, что сам по себе этот интеграл с А, =0 конечен при р2= т2 (для устранения несущественной в данном аспекте расходимости на больших k полагаем при этом, что интеграл берется по большой, но конечной области й-простран-стза). Необходимость же введения К возникает при вычитании перенормировочного интеграла, который без этого расходился бы при р2 = т2. Выясним поэтому, как вел бы себя при р2-+т2 нерегуляризованный массовый оператор. Поскольку же это поведение существенно зависит от выбора калибровки, рассмотрим общий ^случай произвольной калибровки .=(между тем как интеграл (119,2) написан уже при определенном выборе — (119,13)).
Воспользуемся снова преобразованием (105,14). Представив й1-" в виде-
: (119,14)
§ 119] ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА 589
будем считать, что б а — вариация функции a(q2), существенно меняющейся лишь на интервалах q2~m2 и конечной при q2mm2. В подынтегральном выражении в правой стороне (105,14) в разности (р)— (р — q) при малых q оба члена близки и интеграл сходится. Поскольку при малых q
Z?(p — q) ~ —-----1—^—,
1! р — ш — 2 pq
$ (р — q) можно опустить по сравнению с 3 (р) при q ^>(р2 — т?)/т. Интеграл же
№ (р) = (р) [ № (q) =--?r$(p)\j6a (q2) —
логарифмически расходится в области
(р2 — m2)2/m2 <С q2 <С т2.
С логарифмической точностью имеем поэтому 6$ ег . , о\ 1
~ф~ = —о— о a (т) In 5------г •
» 2я ' ' р2 — т2
Это равенство можно проинтегрировать. Заметив, что при а = е2->-0 точный пропагатор $ должен совпадать с пропагато-ром свободных частиц G, получим
• (П9,15)
где ао = а (т.2), С — некоторая постоянная. Для определения последней сравним выражение
(Р) = (УР — m)[l + —- (С — а0) In р], (119,16)
получающееся из (119,15) в первом приближении по а, с аналогичным выражением, получающимся из интеграла (119,2) при А=0‘):
^-1(р) = (ур — m)[l +-^-1пр]. (119,17)
Согласно определению (119,14) функция a(q2) совпадает с отношением D^/D. Поэтому калибровка (119,13), к которой относится (119,17), отвечает а = ао=1. Потребовав совпадения
(119,16) и (119,17) при этом значении ао, получим С = 3.
') Чтобы получить (119,17), нет необходимости производить вычисления заново. Член ~1пр в (119,9) как раз и получен в предположении р 3> К допускающем переход А-*-0. Член же ~ In (A/m) возникает нэ-за вычитания перенормировочного интеграла и в исходном интеграле (119,2) отсутствует. Это вычитание не затрагивает, как легко видеть, членов ~ In р.
590
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XIВ
Таким образом, окончательно находим следующее предельное выражение (инфракрасную асимптотику) неперенормиро-ванного электронного пропагатора при р^-^пг2:
\А. А. Абрикосов, 1955). Подчеркнем, что справедливость этой формулы связана лишь с неравенствами а < 1, |1пр|^>1, между тем как формулы теории возмущений требовали бы также и условия а|1пр|/2я<С 1. Отметим также, что знак разности р2— т2 здесь не существен, так как мнимая часть выражения (119,18) все равно находилась бы за пределами его точности.
Перенормированный пропагатор должен иметь при р2 = т2 простой полюс. Мы видим, что (119,18) удовлетворяет этому требованию только в калибровке, в которой
(так что ао = 3). В этом случае регуляризация интеграла Фейнмана (имеющая целью устранить его расходимость на верхних пределах) не будет требовать введения конечной «массы фотона». В других же калибровках нулевая масса фотона приводит к возникновению при р2 — ш2 точки ветвления вместо простого полюса, и устранение этого «дефекта» требует введения конечного параметра Я.
§ 120. Испускание мягких фотонов с ненулевой массой
При вычислении электронных формфакторов в § 117 мы столкнулись с расходимостью интегралов на малых частотах виртуальных фотонов. Эта расходимость тесно связана с обсуждавшейся уже в § 98 инфракрасной катастрофой. Там было указано, что сечение любого процесса с участием заряженных частиц (в том числе рассеяния электрона внешним полем, изображаемого диаграммой вида (117,1)) имеет смысл не само по себе, а лишь при учете одновременного излучения любого числа мягких фотонов. Как будет подробно объяснено ниже (см. §122), в суммарном сечении, учитывающем излучение мягких фотонов, все расходимости сокращаются. При этом, разумеется, для получения правильного результата предварительное «обрезание» расходящихся интегралов во всех складываемых сечениях должно производиться одинаковым образом.
