Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
-b (p2 sin20 + p'2 sin20O — (2e2 -f 2e'2 — q2) X
X sin 0 sin O'coscpj, (93,8)
где
% — e — p cos 0, %' = e' — p' cos O',
42 = P2 + p'2 + — 2pco cos 0 + 2p'a cos 0' —
— 2pp' (cos 0 cos 0' -f sin 0 sin O' cos cp),
0 и 0' — углы между k и соответственно р и р', ср — угол между плоскостями к, р и к, р'.
Интегрирование (93,8) по направлениям фотона и вторичного электрона довольно громоздко. Оно приводит к следующей формуле для спектрального распределения излучения ]):
, 2 da р' ( 4 п / Р2 "г р'г ,
doa Z аге ш р | 3 2ее pip,2 +
-f m2(l + +
ч р р4 ppJ L Зрр р р
X (е2е'2 + р2р'2 + тЧг') + 0 (/ “1+? - /' ~^)]} • (93,9) где
L=]n.^+jp:-!^t /=-ini±?., г=in4+4.
ъъ — рр — tn2 ’ е —р’ е— р
Напомним, что допустимые значения частот в полученных формулах ограничены только условием, налагаемым на конечную скорость эектрона (Ze2/v' <С 1): электрон не должен терять почти всю свою энергию. При ш —v0 сечение излучения расходится, как diо/ю; это — проявление общего правила, которое будет рассмотрено в § 98.
В нерелятивистском пределе (р <С т) импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона, так как
р"1 — р2
') Интегрирование по направлениям одного только вторичного электрона тоже может быть произведено в аналитическом виде — см. Gluck-stern R. L., Hull М. #.//Phys. Rev, — 1953, — Vol. 90, — P, 1030.
§ 93) ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИППСТСКИЯ СЛУЧАИ 455
Поэтому <?2 « (р' — р)\ Положив в (93,8) е — е' — т, в пренебрежении всеми р, р', ш по Сравнению с т, получим
da — ~Z*аг2е ~~ sin 0dO sin 0' d0' dip X
X (p2 sin* 6 -1- p'1 sin2 & — 2pp' sin 0 sin 0' cos <p),
или
(93,10)
в согласии с формулой, полученной в борцовском приближении в задаче J § 92. Соответственно и для спектрального распределения излучения "получается известный уже нам результат
(92,16)*).
В улмрарелятивистеком случае, шила велик» как начальная, так и конечная энергия электрона (s, с'^> т), угловое распределение фотонов и вторичных электронов имеет очень специфический характер. При малых углах 0, 0' фигурирующие в знаменателях формулы (93,8) величины х. к' равны
* * т (ir + 02)> ~ 4 +е'2) <93’11>
и в области 0 т/е. становятся очень малыми. В этой области мала также и величина вектора q(<? ~ т). Таким образом, в ультрарелятивистском случае фотон и вторичный электрон летят вперед в узком конусе с углом раствора ~т/е.
Количественную формулу для углового распределения в ультрарелятивистском случае легко получить из (93,8), подставив х, х' из (93,11), заменив во псех других местах р, р' на е, е' и пренебрегая q2 по сравнению с еа. Введя удобные обозначения:
6 = -?-0, Ъ' =¦—O', (93,12)
представим эту формулу в виде.
- 8 „2 2 в'т* diй , , . .
do = —Z аге ¦ г — 6d6'6 db dq> X
w t 6s V* , m* a* + 6'2
A 1(1+6?)* (1+6'*)» + 2ве' (1+6*) <1+6'*)
-(T- + 7-) <93’l3>
•) Получить эту формулу предельным переходом в (93,9), однако, довольно хлопотно ввиду взаимных сокращений ряда членов.
456 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [ГЛ. X
Написав q2 = [nq]2 -]- (nq)2(n = к/ш), легко найти, что для малых углов
^ = (б2 + б'2 - 266' cos Ф) + т2 (-Ц^ - ±±р-)2. (93,14)
При б -—- б' -—- 1 второй член здесь мал по сравнению с первым. Эти члены сравниваются в области еще меньших углов, где б ~ т/г. Хотя здесь q становится в особенности малым (q ~ ~ т2/г<^ т), интегральный вклад этой области в сечение все же мал по сравнению с вкладом всей области б .<: 1 (как легко видеть — в отношении т2/е2). Но q может достигать значений l~т2/е также и при б -—- б" -—- 1, если при этом
|6 — 6'!^, Ф^- (93,15)
Вклад этой области — того же порядка величины, что и все интегральное сечение (или даже является основным в нем — см. ниже).
Интегрирование формулы (93,13) по ф и по б' дает, угловое распределение фотонов (заданной частоты) безотносительно к направлениям вторичных электронов1):
, о г,2 2 da> е' 6 • db ..
da = 8Zare — — Jr-wX
v |Т e . e' 462 1. 2ee' 1 Г 8 i e' i о 1662 "II
tL в' e (l + 62)2Jln mco 2 [e e (l+62)4j‘
(93,16)
Проинтегрировав по б, найдем спектральное распределение излучения в ультрарелятивистском случае:
<*»• = ¦(«Т7(-Г + ТГ~т) О"-!) <93-17>
(эту формулу можно, конечно, получить и непосредственно из (93,9)).
Обратим внимание на присутствие в (93,16) и (93,17) лога-
gg'
рифма большой величины (даже при г отношение ~
1). Если она велика настолько, что велик даже ее логарифм, то в указанных формулах члены, содержащие логарифмы, становятся основными. Отметим, что этот логарифм происходит от
*) Сначала интегрируют по <р (в пределах от 0 до 2я). Интегрирование по 6' удобно заменить интегрированием по разности |Д| = |6' — б|, разбив его область на две части: от 0 до некоторого Д0 и ог Д0 до оо, где До удовлетворяет неравенствам m/е До ¦С 1. В каждой области возможны соответствующие пренебрежения в подынтегральном выражении.
§ 93] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ 457
интегрирования по области (93,15)1). Таким образом, в логарифмическом приближении (т. е. в пренебрежении членами, не содержащими большого логарифма) вторичный электрон летит под углом ~ (т/е)2 к направлению падения.
