Курс общей физики. Механика и молекулярная физика - Ландау Л.Д.
Скачать (прямая ссылка):
69
Пропорциональность действующей на частицу силы тяготения массе этой частицы дает возможность ввести понятие о напряженности гравитационного поля (или поля тяготения) подобно тому, как это было сделано для электрического поля. Именно, действующую на частицу с массой т силу F представим в виде
F = mg,
где напряженность поля g есть величина, зависящая только от масс и расположения тел, создающих поле.
Так как гравитационное поле подчиняется закону Ньютона, математически аналогичному закону Кулона для поля электрического, то для гравитационного поля также справедлива теорема Гаусса. Разница будет заключаться только в том, что вместо заряда в теореме Гаусса будет фигурировать теперь произведение массы на гравитационную постоянную. Таким образом, поток гравитационного поля через замкнутую поверхность равен —4nmG, где т— сумма всех масс, находящихся внутри этой поверхности; знак минус связан с притягивательным характером сил тяготения.
Пользуясь этой теоремой, можно, например, определить напряженность гравитационного поля внутри однородного шара. Эта задача в точности соответствует рассмотренной в § 21 задаче об однородно заряженном шаре. Воспользовавшись полученным там результатом, мы можем сразу написать
g = — -j-Gpr,
где теперь р— плотность массы шара.
Силу тяготения, действующую на тело вблизи земной поверхности, называют весом тела Р. Расстояние от тела до центра Земли есть R-]-г, где R— радиус Земли, а г— высота тела над ее поверхностью. Если высота г очень мала по сравнению с R, то ею можно пренебречь, и тогда вес тела
п птМ
где M — масса Земли.
Если представить эту формулу в виде
P = mg, то
ПОЛЕ
[гл. II
GM « = Ijr-
Постоянную величину g называют в этом случае ускорением силы тяжести. Это есть ускорение свободного падения тела в поле тяготения Земли.
На высотах z, на которых силу тяжести можно считать постоянной, потенциальная энергия тела выражается следующей формулой:
U = Pz = mgz.
Это видно из полученной в § 10 общей формулы для потенциальной энергии в однородном поле, если учесть также, что в данном случае сила направлена вниз, т. е. в сторону уменьшения z.
Ускорение силы тяжести g в действительности неодинаково в разных точках земной поверхности, так как последняя не имеет точно сферической формы. Кроме того, следует иметь в виду, что благодаря вращению Земли вокруг своей оси возникает центробежная сила, которая действует в сторону, противоположную силе притяжения. Поэтому следует ввести эффективное ускорение силы тяжести, которое меньше ускорения силы тяжести на гипотетической покоящейся Земле. Это ускорение равно на земных полюсах
g = 983,2 а на экваторе g = 978,0 .
Иногда значение g фигурирует в определении единиц измерения физических величин (например, силы и работы). Для этих целей условно пользуются стандартным значением
g= 980,665 ^2, очень близким к ускорению силы тяжести на широте 45°.
§ 23. Принцип эквивалентности
Пропорциональность силы тяготения массе частицы, на которую она AeflCTByeT(F=Aigr), имеет очень глубокое физическое содержание.
Так как приобретаемое частицей ускорение равно действующей на нее силе, деленной на массу, то ускорение W, ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
71
испытываемое частицей в гравитационном поле, совпадает с напряженностью этого поля:
W = g,
т. е. не зависит от массы частицы. Другими словами, гравитационное поле обладает замечательным свойством: все тела, независимо от их массы, приобретают в нем одинаковые ускорения (это свойство было впервые открыто Галилеем в его опытах над падением тел в поле тяжести Земли).
Аналогичное поведение тел мы обнаружили бы в пространстве, в котором на тела не действуют никакие внешние силы, если наблюдать их движение с точки зрения неинер-циальной системы отсчета. Представим себе, например, ракету, совершающую свободное движение в межзвездном пространстве, где можно пренебречь воздействием на нее сил тяготения. Предметы внутри такой ракеты будут «парить», оставаясь неподвижными по отношению к ней. Если же ракета получит некоторое ускорение w, то все предметы в ней будут «падать» на пол с ускорением — W. Таким же образом вели бы себя тела в ракете, движущейся без ускорения, если бы в ней действовало однородное гравитационное поле с напряженностью — w, направленной к полу ракеты. Никаким экспериментом нельзя было бы отличить, находимся мы в ускоренно движущейся ракете или же в однородном поле тяготения.
Эта аналогия между поведением тел в гравитационном поле и в неинерциальной системе отсчета представляет собой содержание так называемого принципа эквивалентности (фундаментальный смысл этой аналогии выясняется полностью в теории тяготения, основанной на теории относительности).
В изложенном рассуждении мы говорили о ракете, движущейся в пространстве, свободном от поля тяготения. Эти рассуждения можно и «обратить», рассмотрев ракету, движущуюся в гравитационном поле, скажем в поле тяготения Земли. «Свободно» (т. е. без двигателей) движущаяся в таком поле ракета приобретает ускорение, равное напряженности поля g. Ракета представляет собой при этом неинерциальную систему отсчета, причем влияние неинер-циальности на движение относительно ракеты находящихся в ней тел как раз компенсирует влияние поля тяготения 72
