Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначая через со действительный, а через со' чисто мнимый период интегралов t{, т. е. полагая
со е,
Г dl . . Г dk со= 2\ -
Jl
V f?) '
со' = 2 \
е.
J Vm
-OO 220
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
Ю (0 ей —I— ш'
мы получаем, что когда іг изменяется от 0 до — , t2 — от — до —^—>
о 4- щ' ю' ' -
а — от —' — до — , то точка (х, у, z,) пробегает весь октант. JL JL
Если удвоить интервалы изменения переменных t(, то точки (X, у, г) заполнят все пространство. Для того, чтобы какая-нибудь однозначная функция от переменных I1 была также однозначной функцией от координат X, у, z, необходимо, чтобы эта функция оставалась инвариантной при всех тех подстановках переменных tt, которые преобразовывают X, у, Z в самих себя, например при замене Z1 и I2 через со — tx и со — Iv
Положим: I1 = U, /а = + р(*,),=/(и), =
= g(v), р (t3) = h(w). Тогда действительным значениям х, у, z соответствуют действительные значения к, v, w и мы получаем:
ds2=\f(u)-g(V)) [/(и) — h (W))du2+ [f (U) —*(«)] [g (V) - h (w))dv2 + + [/(и) — h(w)}[g(v) — h(w)]dw2\ (71)
в этом выражении все коэфициенты никогда не отрицательны при любых действительных значениях к, V, w, так как /(U)^e1 ^sg (г>) ^ ^s C2 h ( w) 5s е3, тогда как в прежнем симметричном выражении для ds2 через tx, t2, t3 диференциал dt2 имеет чисто мнимое значение, и квадратичная форма ds2 остается определенной положительной квадратичной формой лишь вследствие того, что коэфициент при dt2 имеет всегда отрицательное значение.
В качестве примеров вырождающихся эллиптических координат мы рассмотрим здесь только два случая (помимо полярных координат, которые также можно рассматривать как вырождающиеся эллиптические координаты): во-первых, случай, когда координатными поверхностями служат софокусные эллипсоиды, гиперболоиды вращения и их меридиональные плоскости, и во-вторых, координатные системы, состоящие из софокусных параболоидов вращения и их меридиональных плоскостей. Пусть две из величин ер например et и е2 равны между собой. Мы получаем тогда: x*ivz л
fL±Z+_L_ = i. (72)
s — ?l r S-C3
Оба корня S = Il1, S=X2 этого уравнения вместе с углом <р, определяемым уравнениями x = rcostp, y = rsintp, г2 = х2+у2; образуют рассматриваемую систему координат. Здесь
r2 __ (X1-^)(X2-C1) ^2_ (X1-^3)(X2-C3);; (73)
dl2 А__^2 Л\2_
^(X1-C1) (X1-C3) 1 _ 4(Х2—сх)(Х2 C3) (74)
где
dt
r2d<f2-t- (X1-\)(dt\-dt\) , jf dt
1/4 (X-C1) (X^c3) (75) § 8 Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера 221
.-і-
Отсюда мы получаем:
. і га/ ьт\ а / ьт\~\ дт==T2 ¦+ rlv=T) ЬтДг Ъ) - V2IгъГ2) j <76)
Если мы станем удалять одну из вершин эллипсоидов в бесконечность, то, переходя к пределу 1J, мы получим два семейства софокусных параболоидов вращения, определяемых с помощью уравнения:
+ = (77)
Обозначая через X1, X2 кории этого уравнения, мы получим что г и Z выражаются через X1, X2 следующим образом:
^ = -(X1-C1)(X2-C1); 2z=2e1 — X1 — X2. (78)
Координатами точки пространства служат здесь X1, X2 и ср. Квадрат линейного элемента принимает вид:
^=^,4-^^^1 + ^=^1/?!=^^+^-?,) (dil-dtl), (74) где
<Гк
'i=j V^(Ii-C1) = W
C1, (75)
а диференциальное выражение Д7* имеет форму:
+ (76)
Отбрасывая в предыдущих выражениях для квадрата линейного элемента члены, содержащие <р, мы непосредственно получим формулы, выражающие квадрат линейного элемента в эллиптических и параболических координатах на плоскости г, z. Для ДT мы получаем в обоих случаях согласно формуле (64),
btl )
причем связь между I1 и tt выражается в случае эллиптических координат формулой:
h
t — Г_ л
1 JlA(X-C1)(X-C3)' а в случае параболических координат формулой:
») Можно, конечно, при введении этих координат не ссылаться иа предыдущее, но определить их непосредственно, исходя из семейств софокусных параболоидов вращения, заданных уравнением (77). 222
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
§ 9. Приведение вариационных проблем к каноническому и инволюционному виду.
Метод множителей Лагранжа приводит к различным преобразованиям вариационных проблем, одинаково важным как в теоретическом, так и в практическом отношении. С помощью этих преобразований мы связываем заданную вариационную проблему с рядсм других вариационных проблем, эквивалентных данной проблеме в том смысле, что функционалы, рассматриваемые во всех этих проблемах, однсвременно достигают своего стационарного значения. Такого рода преобразования вариационных проблем важны, с одной стороны, в чисто формальном отношении, благодаря своему симметричному и наглядному характеру; с другой стороны, эти преобразования приводят в очень многих случаях к противопоставлению проблеме минимума с минимальньм значением d рассматриваемого функционала другой эквивалентной ей проблемы максимума с тем же числом d в качестве максимального значения соответствующего функционала, и мы непосредственно получаем отсюда практически важный способ нахождения численных пределов, между которыми заключается это экстремальное значение d1).
