Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае имеем:
(У Fy - F)' =SFyi +У Fy - Fy,у" - Fy у= у' (Fyt -F.) = 0, так что из уравнения Эйлера тотчас же слеаует, что
F(у, У)-VFy (у, у') = с, откуда мы получаем, что у' = у(у, с), так что
j tp (у, с)
Формально тот же самый результат получается, если привести этот случай к предыдущему, замечая, что первая вариация интеграла вдоль экстремали обращается в нуль и в том случае, если мы будем рассматривать у как независимую, а х как зависимую переменную. Примеры интегрирования диференциального уравнения Эйлера
197
Обозначая . диференцирование по у поставленной сверху точкой, мы придем тогда к вариационной задаче:
Jf^jz, xdy = min,
где подинтегральное выражение не содержит зависимой переменной.
Из приведенных на стр. 176 и 177 примеров мы можем теперь проинтегрировать на основании предыдущего следующие:
Пример б) при 6 = —, в этом случае:
_' ' Vy
/1-4- V'2 1 1
УFv,- F= =Const = -.
У ^ Vy(\ +У2)
с2
Полагая у = —( 1 — cos. t), получим:
^^ =Ctei-V 2 '
Таким образом брахистохроны представляют собой циклоиды, опи-
C2
сываемые точкой, лежащей на окружности радиуса — , когда эта окруж-
иость катится по оси iX.
і
Пример в) р=у V1 +У2, y'Fy'—F=¦ ~~У =--1,
V і +У2 с
откуда
J/=j Ch (С*+ C1).
Для того чтобы поверхность вращения, соединяющая два заданных круга, имела наименьшую боковую поверхность, необходимо, чтобы эта поверхность получалась вращением цепной линии вокруг своей оси.
Пример г) F=JzV^l—у2, уFy—F
1
Vl —у2
JZ = -Sin (CS + C1),
с
откуда для другой координаты х получаем:
Х = ^У\ -у2 ds= Jsin (es + C1) ds=--1 cos (es + C1) + c2.
Таким образом решением изопериметрической задачи может быть только окружность. 198
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
§ 5. Граничны l условия.
Во всех наших предыдущих рассуждениях мы всегда предполагали, что искомые функции должны принимать на границе области интегрирования заданные значения. Однако в многочисленных вопросах граничные значения функции либо вовсе не подчинены никаким условиям, либо подчинены условиям другого рода. Если при определении функций внутри заданной постоянной области граничные значения не подчинены никаким условиям, то мы называем вариационную задачу задачей со свободной вариацией на границе.
Наряду с задачами со свободной вариацией на границе, во многих геометрических вопросах, в которых речь идет о нахождении кривых или поверхностей, встречаются такие задачи, в которых начальная или конечная точка искомой кривой должна лежать на некоторой заданной кривой или в которых требуется определить искомую поверхность так, чтобы ее граница- лежала на некоторой заданной поверхности. Таким образом в задачах этого типа область интегрирования не задается заранее и сама может вариировать. Из условия экстремума мы должны определить не только функциональный аргумент, но и область интегрирования. Чтобы исследовать вопросы этого рода, достаточно несколько обобщить наши прежние результаты и видоизменить в соответствии с расширенными граничными условиями выражение для первой вариации bJ интеграла J, так как теперь мы уже не имеем права приравнять нулю вариацию функции на границе.
1. Естественные граничные условия в задачах со свободной вариацией на границе.
Для простейшей вариационной задачи
в которой на граничные значения функционального аргумента у(х) на границе х=х0 и X = X1 не накладываются никакие ограничения, мы получаем в качестве условия стационарности обрзщение в нуль первой вариации, которая в этом случае выражается следующим образом:
Для того чтобы вариация 8/ равнялась нулю, прежде всего, очевидно, необходимо, чтобы функция у удовлетворяла уравнению Эйлера [F)y=0.
В самом деле, интеграл J сохраняет свой стационарный характер и относительно того более узкого класса функций, которые на концах интервала имеют те же значения, что и экстремальная функция. Ограничиваясь сначала только такими функциями сравнения, т. е. рассматривая Только такие вариации by, которые обращаются в нуль при л = X0 и
л, §5 Граничные условия
199
X = X1, мы получим в качестве первого необходимого условия экстремума уравнение Эйлера:
[^ = 0-
При выполнении условия [/^ = O уравнение 87 = 0 принимает вид:
pMt=*-
и содержит теперь только граничные значения вариации 8у при х = х0 и X = X1. Так как вариация Ьу может в рассматриваемой задаче принимать на границе какие угодно значения, то мы получаем в качестве второго необходимого условия экстремума естественное граничное условие:
Fyl = O при х = х0 и X=X1.
Точно так же мы получаем из остальных выведенных нами раньше выражений для первой вариации интегралов (см. стр. 177, 180, 181):
j F (X, у, Z, ... , У, Zt,...) dx, (36)
Xo
Я
F (лг, у, и, их, и ) dxdy, (37)
Я
о
F (к, у, и, их, и , V, vx, V , . . .) dxdy, (38)
кроме дифереициальных уравнений Эйлера, следующие естественные граничные условия: для интеграла (36):
Fy = 0 и Fzi = O при х = х0 и x = xj; для интеграла (37):
