Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Эту теорему, представляющую полное выражение искомых свойств непрерывности собственных функций, можно доказать на основании нашей леммы почти непосредственно, исходя из замечания, что для последовательности собственных функций фй+й(5)(0 </г<г) справедливо предельное равенство:
№$-*(*) - Ц t) (t) dt] =* о
и что эта последовательность имеет асимптотическое число измерений г.
§9. Расширение границ приложимости теории.
Выводы § 1—6 и § 8 можно обобщить в двух направлениях. Прежде всего все рассуждения сохраняют силу, если рассматривать интегральные уравнения для функций многих, скажем т, независимых переменных. Под /(s) и (f (s) будем теперь разуметь непрерывные функции переменных s1, S2,..., sm, определенные в заданной конечной области G,
под K(s, t) — непрерывную функцию переменных S1, S2,____ Stn и
t2,..., tm, изменяющихся в той же области; обозначим, наконец, через
ds элемент объема dsxds2___dsm области G, положим соответственно
dt = dt1dt2... d(m и все рассматриваемые интегралы будем раз навсегда считать распространенными на всю область G. В- таком случае интегральное уравнение
представляет собой интегральное уравнение с ядром K(s,t), зависящим
0 В отношении понятия сходимости линейных совокупностей ср. гл. II, § 3,2. § 9
Расширение границ приложимости теории
141
от 2т переменных, для функции т переменных tp (s), и вся наша теория, слово в слово, остается в силе.
С другой стороны, и сделанное до сих пор предположение о непрерывности ядра может быть значительно смягчено без того, чтобы полученные результаты в чем-либо изменились. Не придавая значения возможно более широкому обобщению, отметим здесь лишь случаи, существенные для приложений, и вновь будем рассматривать ядро К (s, І) с двумя переменными S W t. Наши прежние рассуждения, исключая рассуждения, относящиеся к теореме Mepcepa (§ 5, 4), с незначительными видоизменениями сохраняют силу и для ядер лишь кусочно-непрерывных в определенном ранее смысле, ибо всякую такую функцию, как мы виаели в предыдущей главе, можно с произвольной точностью аппроксимировать в среднем с помощью непрерывной функции.
Можно также допускать и бесконечно большие значения ядра. При этом предполагается, что интегралы
имеют смысл, а два постедние, как функции соответственно t или s, остаются ниже определенной грани. Это предположение выполняется, например, в том важном для приложений случае, когда ядро при s — t
обращается в бесконечность порядка ниже — , т. е. когда ядро имеет вид: K(s, t)=H(s, t)\s — t\-°,
причем 0 Sg а <1 , a H(s, t) — всюду непрерывная функция. Для такого
ядра выведенные ранее теоремы справедливы, ибо такое ядро можно во всяком случае аппроксимировать непрерывными выродившимися ядрами
Atl(Sj) таким образом, что ^ і) — An(s, t)]2dt и ^ [/!„(s-J-ij, t) —
— An(s, t)]2 dt делаются ' сколь угодно малыми, первый интеграл равномерно в s, а второй — равномерно относительно s и п, когда IrjI1 берется достаточно малым. Но для проведения наших рассуждений большего не требуется. Точно так же остаются в силе наши прежние теоремы и для случая двух независимых переменных, если ядро при S| = /i, S2 = ^2 обращается в бесконечность порядка ниже первого, ибо при этом условии указанные особенности не лишают смысла интеграла ^ К (s1, s2, tv t^f- ds1 ds2. При трех независимых переменных точно так же допустимы для К произвольные особенности порядка ниже ~ и вообще при п переменных —
особенности более низкого порядка, чем у •
Не трудно расширить область применимости наших результатов настолько, что потребуются лишь формулированные выше предположения об интегралах от K2 (s, t), между тем как во всем прочем можно совершенно отказаться от непрерывности ядра и т. д. Здесь мы ограничимся только этим указанием. 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
§ 10. Дополнения и задачи к третьей главе. 1. Примеры.
а) Ядро
со
sin ns sin nt
1
log
п = 1
. 5-м . s-
SIn 2 'Sm 2~
2 a
(0 < s, n)
имеет собственные значения In =— и собственные функции sin nt.
TX
б) Показать, что симметрическое ядро
1__1 — h2
2тт 1 — 2h cos (s — t) + hi
(0 2тг)
имеет при |/г|<[1 собственные функции 1, sin ns, cos ns с собственными
1 1 1
значениями 1, — , -г-.
hn hn
в) Для симметрического ядра, определенного равенством:
J1 со
1 P
|/ TT
FM
—СО t
_-s
е dx (s^t),
?l dn -Si
ортогональные функции Эрмита е і е являются фундаментальными
CLS
функциями с собственными значениями \п = 2п-\-2.
г) Для симметрического ядра, определенного равенством:
K(s, t) = e
s + ttX)
Є
dx
sh
ортогональные функции Лагерра е
4 Ьп е l~h
bh" 1 — h
являются собствен-
h=0
ными функциями при собственных значениях In =H-J-I1)-
2. Особенные интегральные уравнения. Приложимость общей теории может нарушиться, если ядро обнаруживает особенности слишком высокого порядка, или если оно при бесконечно протяженной основной области — в отличие от ядер только что рассмотренных в п. 1 — в бесконечности обращается в нуль недоааточно высокого порядка.
