Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
§6. Ряд Неймана и разрешающее ядро .....130
§7. Формулы Фредгольма.............132
§8. Новое обоснование теории........ . . 136
I. Лемма 136. 2. Собственные функции симметрического ядра 137.
3. Несимметрические ядра 138. 4. Непрерывная зависимость собственных значений и собственных функций от ядра 139.
§ 9. Расширение границ приложимости теории 140
§ 10. Дополнения и задачи к третьей главе ... 142
1. Примеры 142. 2. Особенные интегральные уравнения 142. 3. Метод Шмидта для вывода теорем Фредгольма 143. 4. Метод Энскога для решения симметрических интегральных уравнений 144. 5. Метод Келлога для определения собственных функций 145. 6. Символические функции ядра и их собственные значения 145. 7. Пример несимметрического ядра, не имеющего собственных функций 145. 8. Интегральные уравнения Вольтерры 146.9. Интегральное уравнение Абеля 146. 10. Взаимно сопряженные ортогональные системы, принадлежащие несимметрическому ядру 147. 11. Интегральные уравнения первого рода 147.12. Метод бесконечно болыного-числа переменных 148. 13. Минимальные свойства собственных функций 149. 14. Полярные интегральные уравнения 149. 15. Ядра, допускающие симметризацию IbO. 16. Определение разрешающего ядра посредством функциональных уравнений 150. 17. Непрерывность определенных ядер 150. 18. Теоремр Гамерштейна 150. Литература к гл. iii 150.
глава iv.
Основные понятия вариационного исчисления.
§ 1. Постановка задачи вариационного исчисления ..........................152
1. Maxima и minima функций 153. 2. Функционалы 155. 3. Типичные примеры задач вариационного исчисления 167. 4. Характерные трудности вариационного исчисления 161.
§ 2. Прямые методы . . . . . . . . . .......162
1. Изопериметрическая задача 162. 2. Метод Ритца. Минимальные последовательности 163. 3. Дальнейшие прямые методы. Метод конечных приращений. Бесконечное число независимых переменных 165. 4. Соображения общего характера относительно прямых методов вариационного исчисления 171.
§3. Уравнения Эйлера..............173
I. Простейшая проблема вариационного исчисления, 173. 2. Случай многих неизвестных функций 177. 3. Выражения, содержащие производные высших порядков 179, 4. Случай многих независимых переменных 180. Xll
Оглавление
5. Тождественное обращение в нуль диференциального выражения Эйлера 182.
6. Однородная форма дифереициальных уравнений Эйлера 186. 7. Вариационные проблемы с расширенными условиями допустимости. Теоремы Дюбуа-Реймона и Гаара 189. 8. Другие вариационные задачи и их функциональные уравнения 195.
§ 4. Замечания относительно интегрирования диференциального уравнения Эйлера. Примеры . . . 196 .
§5. Граничные условия..............198
1. Естественные граничные условия в задачах со свободной вариацией на границе 198. 2. Геометрические задачи. Трансверсальность 201.
§6. Вторая вариация и условие Лежандра . . . . 205
§7. Вариационные задачи с дополнительными условиями.......................207
I. Изопериметрические задачи 207. 2. Конечные дополнительные условия 210. 3. Диференциальные уравнения в качестве дополнительных условий 212.
§ 8. Инвариантный характер дифереициальных уравнений Эйлера ....... . . . . ;......2ia
1. Выражение"Эйлера как градиент в функциональном пространстве. Инвариантность выражения Эйлера 213. 2. Преобразования выражения Ди. Полярные координаты 216. 3. Эллиптические координаты 217.
§9. Приведение вариационных задач к каноническому и инволюционному виду ..... . . . . . 222
1. Преобразование обыкновенных задач минимума с добавочным условием 222. 2. Инволюционное преобразование простейшей вариационной задачи 224. 3. Приведение вариационной задачи к каноническому виду 229.
4. Обобщения 230.
§ 10. Вариационное исчисление и диференциальные уравнения математической физики . . . .'. . 233
1. Общие соображения 233. 2. Колебания струны и стержня 235. 3. Мембрана и пластинка 237,
§ 11. Дополнения и задачи к четвертой главе. . 243
1. Вариационная задача, соответствующая заданному диференциаль-ному уравнению 243. 2. Закон взаимности изопериметрических задач 243. 3. Световые лучи, имеющие форму окружности 243. 4. Задача Дидоны 243.
5. Пример пространственной вариационной задачи 244. 6. Изопериметри-ческая задача на поверхности 244. 7. Индикатрисса и ее применения 244. 8. Вариация при переменной области интегрирования 246. 9. Теоремы Э. Нэтер относительно инвариантных вариационных проблем. Интегралы дифереициальных уравнений механики 248. 10. Трансверсальность для случая кратных интегралов 252. 11. Диференциальные выражения Эйлера на произвольной поверхности 252.12. Принцип Томсона в электростатике 253. 13. Про- -блемы равновесия упругого тела. Принцип Кастильано 253. 14. Принцип Кастильано в теории балок 256. 15. Вариационная задача о продольном изгибе стержня 257. Литература к гл. IV 259. Оглавление
XIII
глава v.
Проблемы колебаний и задачи о собственных значениях
в математической физике.
§ 1. Предварительные замечания о линейных дифереициальных уравнениях.............260
