Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
ляются точки T = rh СИ, а уравнения проходящих через них кривых будут: и — a sin и ch V = О — a sin]0 ch a = 0.
Первая кривая состоит из мнимой оси и = O и ветви кривой, проходящей через точку T= а/ и приближающейся сверху неограниченно к прямым м = тт и н = — тт, а вторая кривая состоит из мнимой оси к = 0 и ветви, проходящей через T = — ai и неограниченно приближающейся снизу к тем же прямым. Это показано на черт. 2Д, на котором отмечено стрелками направление возрастания действительной части функции /(т). Составленная из отрезков кривых 2ї(/) = 0 кривая, отмеченная на чертеже сплошной линией и пробегаемая снизу вверх, дает, если по ней интегрировать, очевидно, Щ; в самом деле, эта кривая может быть преобразована в путь L1 за исключением одной части ее, начало которой лежит сколь угодно высоко и ко-Черт. 21. торая находится целиком внутри полосы — іт<н< — тт-J-є, следовательно, значение интеграла вдоль этой части может быть сделано сколь угодно малым. Действительная часть функции —z#s№T+?t достигает наибольшего значения а-—tha при т = — ai. Заменим опять (ср. стр. 496) путь L11 прямолинейным куском L', идущим от точки (—a—e)i до точки _ 2
(—- а -{- ?) і, где є = X 5. Разлагая остающуюся часть пути интегрирования на две примыкающие конечные части и на две части, идущие в бесконечность, и производя оценку, совершенно аналогичную оценке в п. 1, получаем, что
(— a — є) г (— !Г-И'ОО)
^ e> fVdi -f- \ eVMrft = ё> <* - th *> О (е ^s'),
— г О© (— а + е) і
— п
V /1 / I
V. ¦ ' aj/ j
0 J
1 г / 1 # ' M Yi §6 Асимптотические разложения
503
где C1, как и дальше встречающиеся с2, Ca и т. д., означает некоторое положительное постоянное число, не зависящее от X (а следовательно, и от є). В самом деле, на Обоих конечных отрезках абсолютное значение подинтегрального выражения не больше тех значений, которые оно принимает в точках (—а — г) і и (—а-{-г) і, а для этих значений имеет место указанная оценка. Для простирающихся в бесконечность кусков пути интегрирования легко указать верхнюю грань абсолютного значения подинтегрального выражения вида ^r), где s есть длина
дуги пути интегрирования, аси с'—положительные постоянные, не зависящие от X и є. Отсюда следует для абсолютного значения интегралов по этим частям оценка вида О (e'c^). На куске U имеем:
Дт) - [а - th а +- ^f (- ш) (т + oif /" (_ аї) = th а,
следовательно,
(-в + е)/ (— « + 0 і ... (т+«г)2
-td^) [,+О (»-?)].
I (-к + е)/ (т+«і)» Г /
eVMrft = ^<—th«> \ е 2 f О [), 5 JJ -
(— a"— e)i (— к — е) 1
___ ?
-вУЧ-
__OO
~ 1 V?l ' th ^ \e"*du [1 + 0 fs''')1 [1 + 0 (Х_ 5 ) J =
-OO
Таким образом мы получаем:
ЯН«Х) = -/|/ (93)
1 "I тт \
2. Если «> 1, например 1, то
мы имеем точки
перевала т=а и T =—а и соответственно кривые
м + (а — tga)
и — asin«chi; = ±(a — a sin а), или chv--
asin и
изображенные на черт. 22. При интегрировании по пути, изображенному сплошной линией, получаем Если заменим этот путь вблизи точки перевала прямолинейным отрезком, наклоненным под
TT
углом — - - к действительной оси, и соединительными отрезками ко- 504
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
нечной длины, на которых т) не принимает больших значений, чем
з« ' ^
в точках т = —Cirizse 4 (черт. 23), н положим опять E = X 5, то по лучим таким же путем, как и раньше:
Зга — a -J-Efi 4
jeWdz = е"(-«> j "+в)*Лj l -f ^
а— ее 3™ 4
Зт-f 4-
- О -J- Efi
-(ig о — а) J
Ц tga(-: + с.)«
dz
Li
— а — Efi 4
1 + 0 X
+ E1
уГЩ«
= е4 j/_|_еЛ(і««-«0 J l + o\l SJ
= Ї* j/xlf^ + О (е-^s)] [ 1 + о(г "5 )
(94)
3. Если с = 1, то в точке перевала T=O обращается в нуль также и f"(z). Кривая ^:/(т) = и—sin«chf = ^/(0) = 0 имеет поэтому три
!j! /і
і
J Iv 'j
W\\4 .Vfl- |Л
-Ttt-V-I--XHTt -----1и _
/X / \1 , % ЗПІ
; \ / ;l VO-FPM1
I
зш і
і-а+єе « і
Черт. 22.
Черт. 23.
Черт. 24.
Черт. 25.
ветви, проходящие через точку т = 0 (черт. 24); однії из этих ветвей есть мнимая ось. Мы опять заменим криволинейную часть пути Lj (этот путь на черт. 24 изображен сплошной линией», примыкающую к точке T= О, прямолинейным отрезком (черт. 25), наклоненным к действительной оси
" ,-4- ^
ПОД углом В — и имеющим длину є = Х 4. Тогда для всех T пут|1 §6 Асимптотические разложения
505
интегрирования между —ei ц ге 6 имеем:
№
IX
Далее,
Sjti
г« 6
L.
SЫ
р6
\ е> /Шт = \ eVM (h -f- О (е- с<
L1 -U
Г.І 5тг/
j'e>-/Wrfi= J 11 -f of)," 4) J .
VI
5-J Ы
ІЄ 6 ЇІ-* Et u
0 0 n
при последнем преобразовании мы полагаем в первом интеграле
Yg И
а во втором — і = -
з ,-g
V7
-г ги. Правая часть послед-
него равенства равна:
VVf'
OO
I е- "'du [1-і- О (е - )], о
если S3I остается больше некоторой положительной грани. Но
• ^=Tr(I)-
OO со
следовательно, окончательно получаем:
.....ы
(95)
Асимптотические формулы для Jx(0I) получаем в случае a из выведенных здесь формул для Н* (с).) и из формул, которые находятся совершенно аналогичным образом, для И? (ак):
