Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Что таким путем при "заданных краевых условиях опять получаются все фундаментальные функции цилиндра, выводится из полноты системы этих функций способом, уже не раз примененным.
Если взять в частности цилиндр с прямоугольным основанием, т. е. прямоугольный параллелепипед, например куб 0s?iл:,jy,г^тт, то получим таким путем, в качестве почти само собою разумеющегося решения задачи, собственные значения I2 -(- trfi -(- я2 (/, т, п= 1, 2, 3,...) и собственные функции sin Ix sin ту sin nz.
В качестве следующего примера рассмотрим уравнение колебания для шаровой области X3у*Zi uz \ радиуса 1. Введя полярные координа- Колебания трехмерных континуумов
297
ты /-, 8, <р, преобразуем уравнение колебания к виду (ср. гл. IV, § 8, 2):
+ *!= ЦШ [Ь <" ^sin o> + #3?) + SF Sin »>] =
пытаемся удолетворить этому уравнению, полагая и= К(8, <р)/(л), где Y зависит только от if и 8, а /—только от г. Имеем:
(r2/')' -j- Хг2/_
/ Fsin
причем k должно быть постоянно. Эта постоянная не может, однако, быть произвольной; она должна быть так выбрана, чтобы диференциальное уравнение
Д*Г + kY=±- L—(-? +4(Kesin8)l-f kY=0 sin 8 [oip Vsin 8/ 1 O8 J1
имело решение, непрерывное на всей поверхности шара, т. е. периодическое относительно <р с, периодом 2тт и остающееся еще регулярным при 8 = 0 и 8 = тт (при приближении к этим точкам наше решение должно стремиться к пределу, не зависящему от ср). В гл. VII,. § 5 мы увидим, что этому требованию можно удовлеівориіь лишь для значений k = n(n-\- 1) (л = 0,1, 2, ...), а именно шаровыми функциями Y (8, ср) (ср. также § 9). Для функции/(г) получается диференциальное уравнение:
(г2/)'-" («+1)/-И'2/=0,
для которого решениями, регулярными в нулевой точке, являются функции
SjyT г)
у г
(ср. §5 и §10). Параметр X следует теперь определить из краевого условия, например при краевом условии и = 0, из уравнения
(V^)=O.
Обозначая корни этого уравнения через In ]( 2> ¦ • • > получим решения нашей краевой задачи в виде:
U = Yn (8, <p)S„(jA~r).
Что таким образом мы получаем полную ортогональную систему функций и, следовательно, все фундаментальные функции и собственные значения нашего диференциального уравнения, будет доказано позже, в гл. VII, §5.
§ 9. Краевая задача теории потенциала и собственные
функции.
Краевая задача теории потенциала состоит в определении функции и, которая внутри области О удовлетворяет диференциальному 298
Проблемы колебаний
Гл. V
уравнению Au = Q, а на границе принимает заданные значения, Согласно § 1, 2 эту задачу можно привести к решению неоднородного уравнения Дм=/ при краевом условии и = 0. Решение этой задачи всегда можно найти методом, изложенным в § 7, разложением по фундаментальным функциям диференциального уравнения:
Av -f Iv = 0.
Однако при некоторых специального вида областях О можно притти к цели другим, более простым путем, при помощи процесса расщепления и приведения к фундаментальным функциям диференциального выражения с меньшим числом независимых переменных. Покажем это на нескольких важных примерах.
1. Окружность, сфера, сферический слой. Прежде всего рассмотрим случай двух независимых переменных х, у, а в качестве области G возьмем окружность радиуса 1 с центром в начале. После преобразования выражения Дм к полярным координатам г, <р имеем задачу о решении диференциального уравнения:
f(rur)r +U99 = O
при заданных краевых значениях и( 1, <р)=/((р), где /(<р)— периодическая, с периодом 2тг, непрерывная функция, имеющая кусочно-непрерывную первую производную. Отыскание решений однородного уравнения — без рассмотрения краевого условия — при помощи расщепления вида и = v (г) W (<р) приводит обычным путем к задаче о собственных значениях уравнения:
w" -\-lw = 0,
причем в качестве краевых условий надо поставить условия периодичности W (0)= W (2тг), W1 (0) =Wf (2тг). Эта простая задача приводит к собственным значениям ~к = п2 (п — целое) и соответствующим собственным функциям W = an cos п (р bn sin п ф. Для множителя V (г) получается диференциальное уравнение г (г i?)1 — HiV=O, имеющее линейно независимые решения V = г" и v = r~n. Стало быть, имеем частные решения первоначального диференциального уравнения, регулярные в круге радиуса 1, в форме:
(an cos п ср -f- bn sin п <р) гп
с произвольными коэфициентами ап и Ьп. Эти решения можно также охарактеризовать как целые, рациональные относительно х и у, однородные степени п решения диференциального уравнения Au = O.
Процессом наложения, на основании теории ряда Фурье, можно получить желаемое решение краевой задачи в виде:
оо
и = X rn (ап cos п <р -j- bn sin п tp), о
причем коэфициенты ап и Ьп надо взять из разложения в ряд Фурье заданной функции f(x) (ср. гл. IV, § 2, стр. 168), §9
Краевая, задача теории потенциала и собственные функции
299
Совершенно аналогично складываются обстоятельства в трех измерениях, если в качестве области G выбрана единичная сфера х2 -f-у2 +¦ -}- Z2 1. Место тригонометрических функций здесь занимают шаровые функции Лапласа. Преобразуя диференциальное уравнение к полярным координатам г, o, <р (ср. стр. 217 и 296), получим уравнение:
