Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
т
с компонентами
/о = -eO (7123 + 7231 + 7зіг), /1 = —(Ї203 + T032 + 7з2о)» /2 = —(7801 + 7оіз + 7ізо)» (35*)
/з = —ez (7і02 + 7о21 + 721о)'
С учетом тождеств
OC1OC2OC3 = ф3а0, OC2OC3 = ір3 ах,
ос3ах = ф3а2, (1**)
аха2 = ір 3а3,
1J Справедливо равенство Sp —-- = 0.
дх '424 В. А. Фок
вытекающих из определения (1) матриц аможно записать
сумму S ekakCk в виде k
2 eiaici= 2 ^ -у 2 eJyJU-Y Рз/г). W
і і з
Введем обозначение
b=-?>em,=y=g-j-f{Vgtil) (36)
і
и подставим выражение (*) в (22). Тогда
H=S e^ (¦ІЇЇГ -?--f фі * ¦+ 1нг ¦M) +
і
+-ёг рз 2 - mca^- (22*> і
Отметим, что в этом выражении первая и вторая суммы по отдельности являются самосопряженными операторами.
Если все конгруэнции являются нормальными, то «тетрадный вектор» ft обращается в нуль, так как каждый символ Риччи yiki по отдельности обращается в нуль, если все его индексы различны. Тогда в качестве координатных поверхностей можно выбрать гиперповерхности, нормали к которым дают нам конгруэнции кривых. При этом
ds2 = 2 е,Н) dx); Vg = H0HiH2F3 (37)
д
и
Ні = ЄіНи U = Oj (37*)
а все компоненты Iiii0 и Ь% обращаются в нуль, если их индексы неодинаковы. Тогда оператор F выражается как
F^р= 2 еіаі~Щ ( 2?"?-7 Vi* + д
+ ШЩ^Ц) *)-mca^ (38)
Эта формула позволяет сразу же написать уравнение Дирака в произвольных криволинейных ортогональных координатах. При этом нужно иметь в виду следующее. Если, например, в случае обычного евклидова пространства уравнение (38) записать сначала в декартовых, а затем — в криволинейных координатах, ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 425*
то соответствующие гр-функции в уравнении (38) не будут совпадать друг с другом, но будут связаны преобразованием вида (2) с переменными коэффициентами а, ?, у, б. Это обстоятельство нельзя упускать из вида при формулировке требований однозначности г|)-функций.
В заключение данного пункта отметим, что, как известно, в общем случае риманова пространства не всегда возможно выбрать в качестве всех конгруэнций кривых нормальные конгруэнции. Это, однако, всегда удается сделать в важных частных случаях статических гравитационных полей с центральной и аксиальной симметрией, как это явствует из решений уравнений Эйнштейна, полученных Шварцшильдом и Леви-Чивитой.
7. Попытаемся теперь найти тензор энергии-импульса. Для этого рассмотрим тензор
Aaa=Vya ( ^г-Гссф) (39)
и вычислим его дивергенцию х).
Запишем уравнение Дирака и комплексно-сопряженное ему уравнение в виде
= (40)
(-gr-^r;) Ycr + тсФа4 = 0- (40*)'
Продифференцируем (40) по ха и умножим слева на гр; уравнение же (40*) умножим справа на dty/dxa и результаты сложим. Учитывая формулу
nr+ir.—rfeUgC-. <«>•
следующую из (24), можно записать сумму в виде
Умножим теперь (40) слева на —я|)Га, а (40*) — справа на Гаг|) и снова сложим. В полученной сумме заменим T^ya и TZy0 их
1J Результаты этого пункта можно было бы получить в более изящнош виде, рассматривая бесконечно малые преобразования координат (ср. [11]). Мы предпочли, однако, пойти более элементарным путем. '426 В. А. Фок
-выражениями, найденными из формул (24) и (41). Это даст нам
1 д ПлГ-
Vg дх1
(ф VgyaTaXp) +Ij3 (VaVa) ад -
- We VT Ф +W (ðû - г«г") Ч> = (43)
дх
Подставив сюда вместо VaTa выражение
вычтем (43) из (42) и получим
yj^ (VgA0a)-KpA^ = WDaa^
(44)
агде для краткости введено обозначение
Daa = ^r-^- + T0Ta-TaTc. (45)
дх дх
Теперь нужно найти матрицу Doa. Имеем
Daa = D0Da — DaD0 = 2 eheIhk^huaDtkU (46)
ki
тде
Dki = Dk Dl - Di Dfk+^em (ymlk - ymkl) Dfm. (47)
т
Оператор (47) равен
D'hl = T S aIaJeJytm + Mku (48)
ij
где через у і jhi обозначены тетрадные компоненты тензора Римана:
__ fly І jh дут Vw--JT1 ^T +
+ 2 е™ [Y^m (УтЫ ~~ Утік) + УтПУтЩк ~ УтікУтпПI, (49)
а антисимметричныи тензор дЧк_д dsi dsh
МЬІ = ^~1^+1іЄгп(УшЬ-УгпНі)<Рт (50)
•есть тензор напряженности электромагнитного поля. Выразим теперь матрицу y°Doa через Dki'-
y°Doa = 2 eheiakhltaDki. (51)
ki ГЕОМЕТРИЗАЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОНА 427*
Входящую сюда сумму 2еь<*ъРы можно найти из соотноше-
k
ния (48), если принять во внимание симметрию тензора Римана относительно циклирования. Тогда
2 ehahD'kl = 2 ehah ( -± /?+-?1 М'ы ) , (52)
k k
где
Rhi = — ^ЄіУіШ (53)
і
суть тетрадные компоненты свернутого тензора Римана. Подставляя (52) в (51), находим
уЮоа = у* ( -\ Rpa + ig! Mpa). (51*)
Тем самым мы получили для дивергенции тензора Aad выражение (VgA0Za)-Y0apAp0 =Sp {-{ Rpa + ^ Mpa). (54)
Vg дха Положим
-^A°a = W0a = T*a+iU°a, (55)
где через Т°.а и U°a обозначены действительная и мнимая части комплексного тензора Wfdl тогда формула (54) приводится к виду
V0W0a=Sp (еМра—^Rpa) (56)
или, после разделения действительной и мнимой частей,
V0T0a =eSpMpa,
V0U0a=^SpRpa. (57)
Второе из этих соотношений — тождество, которое легко доказать, так как тензор U°d равен
