Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая (1) и (3), можно записать последнее из уравнений (2) в виде
Итак, если P + Q действительно содержит одну из величин Z1 или z2, т. е. если один из коэффициентов Tl, CL1, а2 отличен от нуля, то вследствие того, что правая сторона этого уравнения не зависит ни от Z1, ни от Z2, множитель при P + Q в уравнении (4) должен обращаться в нуль. Случай, когда обращаются в нуль все три величины п, A1, а2 следует рассматривать особо.
(2)
1-KR2 о ВОЗМОЖНОСТИ МИРА с постоянной ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНОЙ 333
Таким образом, в случае, когда не все величины п, ах, а2 равны нулю, между X и кривизной пространства существует соотношение
XR3 = 3 (5)
С учетом (5) уравнения (2) сводятся к одному-единственному уравнению, определяющему функцию L, а именно:
2. Ниже мы должны различать два случая: 1) п Ф 0 и 2) п = 0. В первом случае, как показывают формулы (D1), (1), (3), можно без ограничения общности принять величину п равной единице; именно, применяя подстановку = ср (z4), всегда можно сделать п = 1. Учитывая это, получаем из (6):
Ь=ьы_+Х ъш (7)
X3
Чтобы определить р, положим в уравнениях (А) і = к = 4; простое вычисление показывает, что в нашем случае р становится равным нулю. Следовательно, первый случай характеризуется нулевой плотностью вещества и интервалом
ds2^^(dx2 + dx22 + dxl) +
X3
I г ^1 + ^2 + ^1(^4)^1 + ^2(^4)^2 + ^3(^4)+^3 J2J^a (D')
Переходя ко второму случаю (п = 0), находим для L уравнение
L = AifiLe (8)
X3
И в этом случае вычисление дает для р нулевое значение. Таким образом, второй случай также характеризуется нулевой плотностью вещества и интервалом
ds2 = 4- (dx2 + dx2 + dxl) + ГflI M + Ы *2 + Л3 Wl2 dx2 (Щ х2 L J
Наконец, рассмотрим случай, когда все три коэффициента /г, ах, а2 обращаются в нуль, так что M не зависит от X1 и х2. Интегрируя (2), мы снова приходим к двум случаям:
1) LR2 = 3, M = Мо(х*] ,
X3
2) XR2=I, М = М(хк),
где M0 и M — произвольные функции своих аргументов. Интервал для первого случая есть частный случай формулы (D2); предыду- 334 А. А. Фридман
щее вычисление показывает, что плотность вещества здесь равна нулю.
Второй случай г) приводит, как нетрудно убедиться, к плотности вещества, отличной от нуля. Чтобы решить, будет ли при этом плотность положительной или отрицательной, необходимо использовать тот вид интервала, который соответствует индефинитной квадратичной форме и выражается формулой (Dir). Проводя вычисления с гравитационными потенциалами формулы (D"), убеждаемся, что в рассматриваемом случае M является функцией только z4; следовательно, можно, не нарушая общности, положить M = 1 [для этого нужно лишь ввести вместо х4 координату X4 = (р (Z4)]. Вычисляя в этом предположении плотность р, находим
Л ___C^ ___2
dr2 я _ JP dx\ + dxl + dxl + dxl с X3
Таким образом, этот случай дает отрицательное значение р.
Резюмируя, можно сказать, что стационарный мир с постоянной отрицательной кривизной пространства возможен только при нулевой или отрицательной плотности вещества: интервал, соответствующий этому миру, выражается приведенными выше формулами (Di), (D2') и фз).
3. Обратимся теперь к случаю нестационарного мира. Заметим прежде всего, что M здесь есть функция только от х4; соображения, не раз приводившиеся ранее, показывают, что M можно приравнять единице. При этих предпосылках мы без труда находим, что уравнения (А) для і = 1, 2, 3, к = 4 и для іфк, і, к = = 1, 2, 3 удовлетворяются сами собой. Полагая в них і = к = = 1, 2, 3, мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка, определяющее функцию R (z4), а именно:
Это уравнение совершенно аналогично нашему прежнему уравнению [уравнение (4) цитированной работы]; последнее переходит точно в (9), если положить с = 1. Следовательно, все сказанное об уравнении (4) можно перенести на только что написанное уравнение. Поэтому мы не будем приводить подробностей, а вычислим лишь плотность вещества р для нестационарного мира.
Записывая для случая нестационарного мира интервал в виде (D"), мы получаем для R дифференциальное уравнение
Д'2 . 2RR' с2 л л
Я2 + Д2 д2 — Л —и.
*) На возможность этого случая мне указал В. Фок. о ВОЗМОЖНОСТИ МИРА с постоянной ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНОЙ 335
Интегрирование этого уравнения дает нам соотношение
Ci R
где А — произвольная постоянная. Вычисляя плотность вещества, получаем
р -iar (W)
Формула (10) показывает, что при положительной постоянной А плотность вещества также положительна.
Отсюда следует возможность нестационарных миров с постоянной отрицательной кривизной пространства и с положительной плотностью вещества.
§з
1. Обратимся к обсуждению физического смысла результата, полученного в предшествующих параграфах. Мы убедились, что космологические уравнения Эйнштейна обладают решениями, соответствующими миру с постоянной отрицательной кривизной пространства. Этот факт указывает на то, что одних только космологических уравнений еще недостаточно, чтобы решить вопрос о конечности нашего мира. Значение кривизны пространства еще не дает нам непосредственных указаний на его конечность или бесконечность. Чтобы прийти к определенному заключению о конечности пространства, необходимо сделать некоторые дополнительные уточнения. В самом деле, мы называем пространство конечным, если расстояние между двумя произвольными несовпадающими точками не превышает некоторого положительного постоянного числа, какова бы ни была эта пара точек. Следовательно, прежде чем рассматривать проблему конечности пространства, мы должны еще условиться, какие точки этого пространства следует считать разными. Например, если мы будем рассматривать шар как поверхность трехмерного евклидова пространства, то точки, лежащие на одной параллели с разностью долгот в 360°, мы сочтем совпадающими; напротив, если бы мы рассматривали эти точки как различные, то получили бы многолистную сферическую поверхность в евклидовом пространстве. Расстояние между двумя произвольными точками на сфере не превосходит некоторого конечного числа; если же эту сферу понимать как бесконечно многолистную поверхность, то это расстояние можно сделать как угодно большим (сопоставляя соответствующим образом точки разным листам). Отсюда ясно, что прежде чем приступать 336 А. А. Фридман
