Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
M = M0 = const, (2)
M = (AfiX4i + В о) cos Z1, (3)
где M0, i40, B0 — постоянные величины.
В случае когда M равно постоянному числу, мыТимеем для стационарного мира случай цилиндрического мира. При этом удобнее оперировать гравитационными потенциалами, получае-
1) Плотность р является у нас неизвестной функцией мировых координат
xIt #2» а?з, хА. 21* 324 А. А. Фридман
мыми из формулы (D); определяя плотность и величину X, получаем известный результат Эйнштейна:
P = W M= — R<
где M — общая масса всего пространства.
В другом возможном случае, когда M определяется из формулы (3), мы путем рационального изменения х4 *) приходим к шаровому миру де Ситтера, в котором M = cos X1; пользуясь формулой (D2), найдем следующие соотношения де Ситтера:
Таким образом, стационарный мир может быть или цилиндрическим миром Эйнштейна, или сферическим миром де Ситтера.
2. Обратимся теперь к изучению другого возможного мира — нестационарного. В этом случае M есть функция только х4; соответственно изменяя х4, мы можем без ограничения общности положить M = 1; имея в виду большие удобства наших обычных представлений, напишем в форме, аналогичной (D1) и (D2):
ds2 = — R*?a) [dx\ + sin2 Xi dx\ + sin2 Xi sin2 я2 dx\ ) + dx\. (D3)
Нашей задачей является определение R и р из уравнений (А). Очевидно, что уравнения (А), в которых значки различны, ничего не дадут; уравнения (А), в которых і = k = 1, 2, 3, дадут одно соотношение4
R'2 , 2 RR" .с2 л //ч
#2--1--да™ ^ = of (4)
а уравнение (А), в котором j = Zc = 4, дает равенство
3 R'* 3 с2
Д2 + Д2
причем
X Kc2P, (5)
д, _ dR J^n d2R
dx4 dxI
Так как Rt Ф 0, то интегрирование уравнения (4) после замены для удобства х4 на t даст нам уравнение
А_ft і ^ J?3
JL (M-Y= д+*»д (6)
c2 V dt J R ' К '
1J Указанное изменение производится с помощью формулы dx€ = = Va0X4 + B0dx4. О КРИВИЗНЕ ПРОСТРАНСТВА 325
где А — произвольная постоянная. Из этого уравнения R получится путем обращения некоторого эллиптического интеграла, т. е. путем решения относительно R уравнения
*-т W7~T^dx+B' (7)
а f A-X-r-g^r*
где В ж а — постоянные; при этом, конечно, надо помнить об обычных условиях изменения знака у квадратного корня. Уравнение (5) дает нам возможность определить р:
P = W (8)
через всю массу M пространства; постоянная А выразится равенством
Л = (9)
принимая, что масса M — величина положительная, мы и для А получим положительное значение.
3. Изучение нестационарного мира основано на изучении уравнений (6) и (7); при этом, конечно, величина X не определяется сама собой, и мы при изучении уравнений (6) и (7) будем предполагать, что X может принимать любое значение. Определим те значения переменной х, при которых квадратный корень, входящий в формулу (7), может изменить свой знак. Ограничиваясь случаем положительного радиуса кривизны, нам достаточно рассмотреть значения для х, при которых подкоренное выражение обращается в нуль или бесконечность в интервале (0, оо) для х> т. е. при положительных X.
Одно из значений х, при котором квадратный корень в формуле (7) обращается в нуль, есть значение х = 0; другие значения X, при которых квадратный корень в формуле (7) может изменять свой знак, определятся при изучении положительных корней уравнения
А — х + -^-х3 = 0.
Обозначая Х/Зе2 через г/, построим семейство кривых третьего порядка в плоскости (х, г/), определяемое уравнением
уя* — X + А = 0, (10) 326 А. А. Фридман
где А — параметр семейства, меняющийся в интервале (0, оо). Кривые нашего семейства, показанные на рисунке, пересекают ось X в точке X = А, у = 0 и имеют максимум в точке
_ ЗА _ 4
2 ' У~~ 27A2 '
Рассмотрение чертежа показывает, что при отрицательных А, уравнение А — X + (W3c2) х3 = 0 имеет один положительный
У 0,5
ол - \
0,3 - \
0,2 - V
0,1 о -
/ I Yz 3 4 5 6 X
-0,1 - N(
-0,2 - T^ % А
-0,3 -
-Ot4 - I
-0,5 -
корень х0, лежащий в интервале (О, А); рассматривая х0 как функцию X ж А:
х0 = 6 (X, А),
найдем, что 0 — возрастающая функция от X и возрастающая функция от А. Далее, если А, лежит в интервале (0, 4/o то
уравнение наше будет иметь два положительных корня: х0 = = 0 (X, А) и Zo = О (А,, Л), причем X0 лежит в интервале (^4, 8/2^4), a Xq — в интервале (8/2^4, оо); 0 (А,, А) будет возрастающей функцией как от А,, так и от А; О (А,, А) будет убывающей функцией от А, и от Л. Наконец, если А, больше V9 (C2JA2i)1 то наше уравнение не будет иметь положительных корней.
Приступая к исследованию формулы (7), сделаем одно замечание: пусть в начальный момент, т. е. при t = t0, радиус кривиз- О КРИВИЗНЕ ПРОСТРАНСТВА 327
ны равен R0. В этот начальный момент квадратный корень, стоящий в формуле (7), будет иметь знак плюс или минус, смотря по тому, возрастает ли радиус кривизны с течением времени при t = t0 или нет. Изменяя время t на —t, мы всегда можем приписать этому квадратному корню знак плюс, иначе говоря, без ограничения общности, можем время выбрать так, чтобы радиус кривизны в рассматриваемый начальный момент t = t0 возрастал с течением времени.
