Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для вывода квазилинейной теории из уравнения Власова был использован ряд приближений. Поэтому важно знать, сохраняются ли в квазилинейной теории те величины, законы сохранения для которых следуют из точного уравнения Власова.
Для того чтобы выяснить это, рассмотрим для простоты одномерную плазму с распределением /а0 = /а0 (и), где и = vx, и возмущение поля в одном направлении, т. е. E1 = х E^ ехр (ikx). Результаты нетрудно распространить и на трехмерный случай. Одномерные квазилинейные уравнения для /а(> и Шк записываются в виде
iHrl1 -^8» (-^)21 нёы -“їг" dk' (10-3'1)
L
Ц± = 2и$н, (10.3.2)
а частота собственных колебаний со = сог + ісог определяется из уравнения [см. (10.2.10)]
*-2 44^<10-3-3>
a L
3.1. Сохранение числа частиц
Интегрирование в (10.3.1) по скоростям дает
OO
4г j /а. (и. Qdu = J Du du = 0, (10.3.4)
— OO
поскольку подынтегральное выражение в правой части является полным дифференциалом и отсутствуют частины со скоростями и = + OO и U = —OO. Из (10.3.4) следует, что в квазилинейной теории полное число частиц не меняется:
j /ao (w, t) du =* const.
410
ГЛАВА 10
3.2. Сохранение импульса
Умножая уравнение (10.3.1) на патаи, интегрируя затем по гг и суммируя по всем сортам частиц в плазме, получаем (после интегрирования по частям) уравнение, определяющее скорость изменения импульса частиц:
2»«J du= - 2 2(°р« 5dk 5 -?-du• (10-3-5)
а а
Для вычисления правой части уравнения (10.3.5) можно использовать уравнение (10.3.3) для со (Zr):
3 20M <<* J Т5&3 iSr1du = J2WS*dk- (i0'3'6)
а
Ho ~ EkE-k и, следовательно, симметрично по к, так что j = 0.
Поэтому
-Jf 2 j IUaUfaodU = O. (10.3.7)
а
Отсюда мы видим, что импульс частиц в квазилинейной теории сохраняется. Поскольку импульс электростатического поля равен нулю, требованию сохранения импульса частиц должна удовлетворять правильная теория.
Задача 10.3.1. Проследите за сохранением импульса в случае электромагнитных волн, записав для этого случая уравнения, аналогичные
(10.3.5)—(10.3.7). Покажите, что при доказательстве сохранения импульса должен быть учтен импульс электромагнитного поля.
3.3. Закон сохранения энергии
Квазилинейные уравнения в отличие от линеаризованного уравнения Власова позволяют доказать закон сохранения энергии. Сохранение энергии представляет собой естественное следствие квазилинейной теории. Умножение (10.2.14) на патаи212 и интегрирование по и дают
-г S J T п,т«иЧміи= 2 «*. 5 <* j “2jr Kbf-.,I ^r'lu“
a
= 2<МЧМЧ)тікЬгі^*‘- <'°-3-8>
a
Используя тот факт, что о удовлетворяет уравнению D (к, со) = 0[см.
(10.2.10)], имеем
S “4. J Tf'd“=k-
a
Уравнение (10.3.1) можно поэтому переписать в виде
2 T ПаГПа j “2/ao du = 2i j (Ogh dk = —— j dk. (10.3.9)
a
Здесь мы использовали одно из тождеств задачи (10.2.1), которое позволило написать
2i j a$hdk= — j 2(o,gAdk = j %hdk.
Поскольку j Mhdk есть полная электростатическая энергия волн, из уравнения (10.3.9) следует, что всякое увеличение энергии волн происходит
НЕЛИНЕЙНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
411
за счет соответствующего уменьшения полной кинетическои энергии частиц. Изменение энергии частиц включает в себя как энергию осциллирующего движения частиц в полях волн, так и уменьшение (или увеличение) энергии частиц вследствие раскачки (или затухания) волн. Различие этих двух слагаемых, описывающих полное изменение энергии частиц, лучше всего проследить на примере слабой неустойчивости или слабого затухания.
§ 4. ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ В КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ 1)
Пусть функция распределения электронов (одномерной) плазмы
fCO ( — ~у~ ^ fedx J
имеет вид, показанный на фиг. 182, и пусть в плазме возбуждены колебания с конечной амплитудой, для которых (§ 6 гл. 8)
(0=(0ре(1+4*2?&е) -HO);, (10.4.1)
в такой области длин волн, что фазовые скорости лежат в интервале Д (о)//с), отмеченном на фиг. 182.
Линейная теория ленгмюровских волн (§ 6 гл. 8) показывает, что эти волны слабо затухают с декрементом, пропорциональным производной функции распределения электронов в интервале скоростей А ж Д (со/к):
ДХ dfe0(u)
2
CD,- :
?2 ди (10.4.2)
Результаты (10.4.1) и (10.4.2) линейной теории, описывающей свойства волн в плазме с помощью распределения /е0, и квазилинейные уравнения (10.2.14), определяющие изменение fe0 со временем, позволяют детально проанализировать обмен энергией и искажение функции распределения при затухании. Квазилинейные уравнения в одномерном случае записываются в виде
dfeО dt
__ _д_ Г Sne2 Г %hdk П
^ ди L т\ J i(ku—(o) J
m;
д%и
dt
dfe 0
ди
(10.4.3)
і (ки— со)
: 2(&i%h)
іде сог и COi выражаются через fe0 с помощью формул (10.4.1) и (10.4.2)г а интеграл по к берется по контуру Ландау 2).
Поскольку COi сог, уравнение (10.3.8), выражающее закон сохранения энергии, можно переписать таким образом, чтобы явно выделить вклады резонансных электронов, движущихся со скоростью волны (и W « со//с), и нерезонансных электронов с помощью равенства (§ 4 и 5 гл. 8)
