Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Конвективный теплообмен 189
связывает два этих процесса. Затем будут выведены интегральные уравнения для случая обтекания плоской пластины и получено их решение, что позволит продемонстрировать аналитический подход, который можно также использовать для определения коэффициентов теплоотдачи в турбулентном потоке.
Рассмотрим элементарный объем внутри пограничного слоя (рис. 4.5) и предположим, что течение является стационарным,
Рис. 4.5. Элементарный объем в пограничном слое, рассматриваемый при выводе уравнений сохранения массы и количества движения.
а жидкость — несжимаемой. Тогда массовые расходы на входе и выходе из элементарного объема в направлении х будут соответственно равны
pudy и р {и + •J^dx) dy.
Результирующий массовый расход в элемент в направлении х составит
— P-J^dx dy-
Аналогично результирующий массовый расход в элемент в направлении у составит
— P-J^dydx.
Так как результирующий массовый расход из элементарного объема должен быть равен нулю, то получаем
190 Глава 4
откуда следует, что при двумерном установившемся течении из условия сохранения массы
?¦ + ?-0. (4.10,
Уравнение сохранения количества движения для элементарного объема получаем с помощью второго закона Ньютона. Предполагая, что жидкость ньютоновская и что в направлении оси у градиенты давления отсутствуют, а силы вязкости пренебрежимо малы, получаем, что в направлении оси х левую и правую вертикальные поверхности элементарного объема (рис. 4.5) пересекают потоки количества движения pu2dy и p[u + (du/dx)dx]2dy. Следует отметить, что поток жидкости через горизонтальные поверхности также сказывается на балансе количества движения в направлении оси х. При этом в направлении оси X нижнюю поверхность пересекает поток количества движения puvdx, а верхнюю поверхность, также имеющую еди* ничную ширину,
Касательное напряжение на нижней поверхности составит —\>>{du/dy\dx9 а на верхней поверхности —
Таким образом, результирующее касательное напряжение в направлении X оказывается равным \idx(d2u/dy2)dy.
Сила давления на левую поверхность составляет pdy, а на правую —[р-\-(dp/dx)dx]dy. Следовательно, результирующая сила давления в направлении течения равна —(dp/dx)dxdy. Приравнивая сумму рассмотренных сил изменению количества движения на выходе из элементарного объема в направлении X1 получаем
puvdx + p^udydx + pv^dx + p~^dy dx =
Если пренебречь производными второго порядка и использовать уравнение неразрывности, то уравнение сохранения количества движения можно упростить:
/ ди . du \ д2и др /л 11\
P Iа IF+ 0W ^"5F-" "ST (4Л1>
Выведем уравнение сохранения энергии при допущении о независимости всех физических свойств от температуры и о достаточно малой скорости потока, что позволяет пренебречь работой
Конвективный теплообмен 191
сил трения. На рис. 4.6 показаны потоки энергии, поступающие и выходящие из элементарного объема благодаря теплопроводности и конвективному переносу. В дополнение к членам, связанным с теплопроводностью и использованным ранее в гл. 2 [уравнение (2.5)], имеются четыре конвективных члена. Для
~kdx
та
pCpyTdy
-каут-
OX
-kdy
(г+-А
-kdx — by
pvtpTdx
Рис. 4.6. Элементарный объем в пограничном слое, рассматриваемый при выводе уравнения сохранения энергии.
баланса энергии необходимо, чтобы сумма всех членов, связанных с теплопроводностью и конвекцией, была равна нулю. При этом получаем
и j j ( , д2Т \ Г ( дТ . ди г . ди дТ , \1 , , kdxdy ^_ + ^rj-[p^ (^—+ —Г + —-.dx)\dxdy-
Используя уравнение неразрывности и пренебрегая членами второго порядка, как и при выводе уравнения сохранения количества движения, получаем следующее уравнение сохранения энергии:
дТ / д2Т , д2Т
и
дТ дх
+ V
ду
-о
дх2
ду'-
о-
(4.12)
При нормальных условиях член, учитывающий теплопроводность в направлении г, мал по сравнению с другими членами. Следовательно, первым членом в скобках в правой части уравнения можно пренебречь. Кроме того, в уравнении количества движения обычно малым по сравнению с другими членами оказывается член, учитывающий градиент давления, и им также можно
102 Глава 4
пренебречь. Теперь становится очевидной аналогия между уравнениями сохранения количества движения и энергии:
ди , ди ( д2и \ /л ю\
дТ , дТ ( д2Т \ ...
"17 +0IJT = 41^)' (4Л4)
В приведенных уравнениях v = \i/p — коэффициент кинематической вязкости, который часто называют коэффициентом переноса количества движения, a v/a = (|я/р) / (k/pcp) = Pr — число Прандтля. Если v = а, то Pr = 1, и тогда уравнения количества движения и энергии идентичны. При этом идентичными оказываются и безразмерные решения для и (у) и T (у). Отсюда видно, что число Прандтля Pr, которое представляет собой отношение физических свойств жидкости, определяет соотношение между распределением скоростей и температур. Число Прандтля изменяется от низких значений порядка 0,004 для жидкого металла до высоких значений порядка 4000 для очень вязкого масла.
4.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
