Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Bi = Ц- < 1,0, (3.2)
то внутреннее термическое сопротивление действительно мало по сравнению с внешним, или конвективным, термическим сопротивлением. Величина L в соотношении (3.2) — это характерный линейный размер твердого тела, В дальнейшем мы убедимся, что при решении задач теплопередачи характерный линейный размер будет различным для тел различной геометрии. Для тел неправильной формы характерный линейный раз* мер часто определяется как отношение объема к площади по* верхности. Если число Био существенно меньше единицы, можно
Нестационарная теплопроводность 131
б?3 труда получить соотношения для нестационарной температуры тела и теплового потока от поверхности твердого тела к жидкости. Рассмотрим тело произвольной формы (рис. 3.1). Из баланса энергии для твердого тела следует, что уменьшение энергии, аккумулированной в твердом теле, должно быть равно тепловому потоку, отводимому от поверхности конвекцией:
- 9Vc = hcAs[T V)-TJ. (3.3)
Здесь р — плотность твердого тела, V —его объем, с — удельная теплоемкость материала, As нение (3.3) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, причем единственной независимой переменной является время. Решение для мгновенной температуры T (t) будет определять температуру во всех точках тела, включая его поверхность, поскольку мы предположили, что внутреннее термическое сопротивление пренебрежимо мало.
Уравнение (3.3) можно несколько упростить, введя новую искомую функцию
9(Z) = T(O-T00. (3.4)
Чтобы решить уравнение (3.3), нужно задать температуру тела в некоторый момент времени. Если предположить, что в начальный момент времени t = 0 температура тела известна и равна Г0, то начальное условие для уравнения (3.3) имеет вид
Bo = T0-T00 при / = 0. (3.5)
Решение уравнения (3.3) при начальном условии (3.5) выражается формулой
<^=е-(ЯЛ/Р^К (3.6)
Формула (3.6) записана в безразмерном виде и, следовательно, параметр hcAst/pVc должен быть безразмерным.
Этот параметр является в действительности произведением двух безразмерных критериев, уже использованных нами. Один из них — это число Био (3.2), а второй — число Фурье (2Л5). Произведение чисел Био и Фурье равно
(Bi)(Fo) = (^)(-?= (3.7)
— площадь поверхности тела. Урав-
Рис. 3.1. Баланс энергии для твердого тела с пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением.
5*
132 Глава З
Характерный линейный размер L для рассматриваемого нами тела произвольной геометрии определяется как отношение объема твердого тела к площади его поверхности
Число Фурье не участвовало в рассмотренных ранее задачах стационарной теплопроводности. Оно является важным безразмерным параметром для задач нестационарной теплопроводности. Если ввести числа Био и Фурье, то формула (3.6) принимает вид
9(0
9,
. = e~B[Fo. (3.8)
Следует помнить, что она позволяет точно определить изменение температуры твердого тела по времени лишь при условии пренебрежимо малого внутреннего термического сопротивления. Первым шагом при решении любой нестационарной задачи является определение числа Био. Известно, что если Bi < 0,1, то ошибка в значениях температуры, рассчитанных по формуле (3.8), не превышает 5%. При меньших значениях Bi точность повышается. Если число Био больше 0,1, то следует примириться с большими ошибками или решать задачу другим методом. Методы, учитывающие пространственное изменение температуры в твердом теле, будут описаны в следующих разделах.
После того как изменение температуры твердого тела по времени определено, можно рассчитать суммарную теплоотдачу и мгновенный тепловой поток от поверхности твердого тела, определив количество тепла, отводимое от поверхности. Величина мгновенного теплового потока в момент времени t равна
q{t) = hcAs[T H)-TJ.
Подставляя сюда значение мгновенной температуры из (3.8), можно выразить в безразмерной форме величину мгновенного теплового потока от твердого тела с пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением:
<7(0
hcAs (Г0 - T00)
:?~BiF0. (3.9)
Суммарное количество тепла, отданное твердым телом в период от 0 до произвольного момента времени /, можно найти, интегрируя соотношение (3.9) в этом интервале времени. В результате получаем
t t
Q(O= ^ q (/) dl = hcAs (TQ — T00) \ e-**°dt,
или в безразмерном виде
QV) м _*5Пл1 і /0 1ЛЧ
Нестационарная теплопроводность 133
Здесь q(t)—мгновенный тепловой поток от твердого тела, который обычно выражается в ваттах; Q{t)—полное количество тепла, отданное телом, которое выражается в ватт-секундах, или джоулях. Соотношения для q(t) и Q(t) являются точными лишь для систем с пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением, т. е. при Bi <С 1,0.
а. Тепловая система б. Электрическая система
Физическая схема: Окружающая среда Лс 7Oo----\Х /ТвердоеХч / тело \ «') С R Л
Уравнение сохранения: g(t)--PvAe- { Щ) с dt R
Начальное условие: 9(0)= T0-T00 = O0 C(O)=E0-E00=C0
Решение для потенциала: = е- (BiXFo) Ф) ^с-і/кс со
Рис. 3.2. Аналогия между нестационарными процессами переноса тепла и электричества.
