Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
или "рассеивание" энергии. Это саше важное свойство демпфирующей силы.
Наш пример соответствует случаю, когда энергия поглощается в форме
"излучения" с выхода передатчика. Энергия, отдаваемая передатчиком, не
рассеивается, в том смысле, что она не переходит в тепло. Эта энергия
"распространяется" вдоль струны, которая может доставить ее к приемнику,
расположенному на некотором расстоянии. Излучаемая на выходе передатчика
мощность равна произведению поперечной силы, с которой передатчик
воздействует на струну в точке а=0, на поперечную скорость струны в этой
точке. Имея в виду, что согласно третьему закону Ньютона сила FX(L, R)
равна взятой с обратным знаком силе FX(R, L), мы можем воспользоваться
уравнением (101),
183
изменив в нем знак . Тогда для величины мгновенной выходной мощности (в
эрг/сек) мы получим
(общий случай), (Ю5)
(случай бегущей волны).
P(t)=(Z
Р (О - Fx (L, R)^-
dt|) Л ^ / d-ф
~дГ )~дГ~~ \~дГ
Первое равенство (105) имеет общий смысл, второе справедливо только для
бегущих волн.
В формулах (105) мы выразили выходную мощность через мгновенную
поперечную скорость струны dty/dt (в точке 2=0). Другой важной величиной,
характеризующей волну, является поперечная сила, определяемая формулой
(95) (с обратным знаком). Мощность на выходе передатчика может быть
выражена через эту величину с помощью уравнений (95) и (99):
Р (0 - Fx (L, R)^ =
P(t)
- Т,
dip
dz
-v.
d-ф dt
dtp ~dz _1_ Z
-To
T0
¦To-
5гр
dz
dip
Ж
(общий случай),
- T,
дф
Ж
5гр
(106)
0 dz
(случай бегущей волны).
Первое уравнение (106) справедливо в общем случае, а второе - только для
бегущих волн.
Мощность Р (t) может быть выражена двумя различными, но эквивалентными
способами [уравнения (105) и (106)]. Действительно, всегда оказывается,
что существуют две величины, представляющие физический интерес при
описании поведения волны. В одних системах мы можем использовать первую
из этих величин, а в других системах вторую. Например, мы обнаружили, что
для звуковых воли избыток давления играет роль, аналогичную поперечной
возвращающей силе-Т0 dty/dz для струны, а продольная скорость воздуха в
звуковой волне играет роль, аналогичную поперечной скорости струны
dty/dt. Для электромагнитного излучения (мы докажем это) роль,
аналогичную поперечной скорости струны dtyjdt, играет поперечное
магнитное поле Ву, а поперечное электромагнитное поле Ех аналогично
возвращающей силе -Т0 дip/dz струны.
Энергия, переносимая бегущей волной. Мощность Р (t), испускаемая
передатчиком в точке 2=0 в виде бегущих волн, равна величине энергии,
переносимой волной в направлении +2 в единицу времени мимо какой-либо
точки г. (Мы пренебрегаем затуханием.) Действительно, вычисляя потоки
энергии с выходного зажима передатчика, мы могли бы рассматривать вместо
точки 2=0 любую точку на оси г. Единственное требование к среде
заключается в том, чтобы в ней могли распространяться бегущие волны.
Повторив сделанные ранее вычисления для любой точки струны г, мы
обнаружим, что "испущенная" мощность, переносимая бегущими волнами мимо
точки г
184
в направлении +z, определяется выражениями, аналогичными (105) и (106),
за исключением того, что поперечная скорость dty/dt и возвращающая сила -
Т0 dty/dz должны быть взяты в точке г вместо точки 2-0. Таким образом,
для бегущих волн в струне получаем
-дг|) (г, t)
Р (z, t) = Z
dt
или
P(z, О=4[-Г0
(107)
(1081
Z L ' 0 dz
Пример 9. Бегущие продольные волны в пружине. Перейдем к рассмотрению
продольных волн сжатия и растяжения в пружине. Мы попытаемся применить
полученные результаты к описанию излучения звуковых волн. Для этого мы
используем модель Ньютона, с теми улучшениями, которые были сделаны в п.
4.2.
Исследуемая нами система показана на рис. 4.9.
Величина Ка входит в уравнение для продольных колебаний пружины с грузами
точно так же, как равновесное натяжение Т0 -¦
2а
К я а) | t-
•и т.д.
Фа |
Фн
-ит.д
Рис. 4.9. Испускание продольных бегущих волн. а) Равновесие; 6)
конфигурация в общем случае.
в уравнение движения для поперечных колебаний такой пружины [см.
уравнение (2.77), п. 2.4 и последующее обсуждение]. Поэтому величина
фазовой скорости получается простой заменой То на Ка [см. уравнение (27),
п. 4.2]. Точно так же мы найдем выражение для характеристического
импеданса и потока энергии в случае продольных волн, если заменим в
соответствующих выражениях для поперечных колебаний То на Ка.
Окончательно из выражений (103), (104), (107) и (108) получаем для
продольных волн
/ Ка ' Ро
Z = VKaPo.
(109)
Для мощности, переносимой бегущей волной, имеем (в эрг/сек)
Р (z, t)=Z
~chj)(z, t) 2 1
dt - T
-Ка
(г, t)
dz
(110)
Величина ф (г, t) представляет собой смещение от положения равновесия
точки г на струне. Она положительна, если смещение происходит в
направлении +г. Соответствующая этому смещению скорость равна <Эф (z,
t)/dt. Величина-Kadty(z, t)/dz представляет
185
собой силу, действующую на пружину в направлении +2 и приложенную справа
