Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Длина волн также не изменится по сравнению со случаем g=0, а полная
возвращающая сила на единицу массы и единицу смещения будет равна
"а^ = Т+ДГз№Т- (9°)
Если эти рассуждения, которые привели к формуле (90), не кажутся
убедительными, то посмотрите задачу 2.26. Там вы найдете уравнение
движения для п-й массы, докажете справедливость уравнения (90) и найдете
формы мод. (Уже сейчас можно сказать, что для граничных условий рис. 2.17
первой моде отвечает &=0.)
Мы встретимся со многими примерами, когда закон дисперсии имеет вид (90).
Его можно переписать в более общем виде:
со-
{k)
¦¦ со
, . , ka - со? sm2 тг •
Рис. 2 18. Дисперсионное соотношение ДЛЯ связанных маятников.
(91)
Совершая предельный переход к непрерывной системе (когда ka<^A), имеем
со2 (/г) = со2 + v20k\ (92)
где v% - постоянная, равная со2а2/4.
Закон дисперсии в форме (92) встретится нам при изучении распространения
электромагнитных волн в волноводе и в ионосфере Земли. (Таков же закон
дисперсии и для релятивистских волн де Бройля при квантовом описании
частиц). Уравнение (91) изображено графически на рис. 2.18,
Пример 6. Колебания плазмы. Этот интересный пример приводит к тому же
дисперсионному соотношению, что и пример
91
со связанными маятниками. В главе 4 мы выведем дисперсионное соотношение
для электромагнитных волн в ионосфере Земли, которое имеет вид,
аналогичный выражению (92):
ю* (*) = (c)* +с1#, (93)
где с- скорость света, а ыр- так называемая частота колебаний плазмы,
определяемая из равенства
Здесь N ¦- плотность числа электронов (в электронах на см3), е - заряд, а
т-масса электрона.
Из рис. 2.18 следует, что самая низкая мода для системы, описываемой
равенствами (91) или (92),- это мода с 6=0, т. е. с длиной волны, равной
бесконечности. В этом случае все маятники будут колебаться с частотой
со2=g/l и одинаковой амплитудой и фазой. В настоящем примере самая низкая
мода соответствует колебаниям плазмы с частотой со^, что видно из
уравнения (93), если положить 6=0. Мы рассмотрим эту моду и выведем
уравнение (94).
Нейтральная плазма состоит из нейтральных и ионизованных молекул газа.
При однократной ионизации молекулы образуется положительный ион и
свободный электрон. Земная ионосфера представляет собой слой воздуха (в
действительности несколько слоев с различными свойствами), в котором
находится много ионизованных молекул (молекулы азота Ы2и
кислорода02).Молекулы воздуха обычно ионизуются при поглощении
ультрафиолетового излучения Солнца. В земной атмосфере плотность ионов и
электронов имеет максимум на расстояниях около 200-М00 км от земной
поверхности. В более высоких слоях атмосферы плотность электронов (и
ионов) уменьшается из-за уменьшения числа молекул воздуха. В низких слоях
атмосферы плотность электронов мала из-за того, что ультрафиолетовое
излучение сюда не доходит.
Так как плазма нейтральна (в среднем), то она не является источником
внешнего электростатического поля. Однако одна область плазмы может
получить избыток заряда за счет его нехватки в другой, соседней, области.
Это создает электрическое поле в плазме. Под действием электрического
поля ионы ускоряются в одном направлении (т. е. вдоль поля), а электроны-
-в противоположном. Заряды движутся таким образом, чтобы уничтожить
избыток и нехватку заряда, вызвавшие поле. Такова причина возникновения
возвращающей силы. К тому времени, когда избыточный заряд будет
уничтожен, ионы и электроны приобретут определенные скорости. Инерция
заставит их проскочить через положение равновесия, и мы получим новые
области избытка и недостатка заряда, противоположные по знаку
первоначальным. Таким образом, здесь существует механизм, который
поддерживает колебания, после того как они возбуждены.
Если нас интересует только движение заряда из одной области в другую, мы
можем забыть о положительных ионах и считать, что
92
полное перемещение заряда создается движением электронов. Действительно,
в данном электрическом поле (одинаковом для любых частиц) ускорение
электрона меньше ускорения иона на величину отношения их масс (около 3-
104), и смещением ионов можно пренебречь.
Рассмотрим упрощенную ситуацию, когда плазма находится между
ограничивающими стенками (рис. 2.19). Пренебрежем движением ионов по
сравнению с движением электронов. В любой момент времени у одной стенки
может быть избыток заряда,- соответственно его недостаток у другой. Это
создает пространственно однородное электрическое поле в плазме (том II,
п.
3.5), определяемое как
Ех = - 4я-|, (95)
где А - площадь стенок, а знак минус указывает на то, что электрическое
поле Ех стремится уничтожить избыток заряда Q. Других источников
электрического поля нет. (Плазма между стенками нейтральна, так как
каждый электрон, движущийся вправо из данного объема, заменяется другим,
входящим в него слева.) Второй закон Ньютона для каждого электрона с
массой т и зарядом q имеет вид
тсРх
О
и
а ¦
dt2
qEx.
(96)
