Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Xg 3^1 dt yfJ,S32vt
y^-3,3^SVj
^3 3^1~3L Vj-2,733Vj
У5=3,732у.
Рис. 2.12. Моды колебаний струны с пятью грузами.
Рис. 2.13. Дисперсионное соотношение для нагруженной струны.
Пять отмеченных точек соответствуют пяти модам закрепленной иа концах
струны с пятью грузами. При других граничных условиях и при другом числе
грузов соответствующие точки займут другие положения на той же кривой.
должны понимать, по сравнению с чем оно мало. Непрерывное приближение
хорошо в случае, когда расстояние а между грузами мало по сравнению с
длиной волны А:
а<^к, ka - 2я ¦- 1.
Воспользуемся разложением в ряд Тейлора [приложение I, (4)]
1 3 ,
smx = x--г-х + ... о
83
Подставляя этот ряд в (74) и полагая х= у ka, мы получаем т. е,
(75)
Соотношение (75) говорит об отсутствии дисперсии. Для непрерывной струны,
где М/а=р0, этот результат был получен в п. 2. 3.
Дисперсионное соотношение для струны рояля. Мы нашли, что моды реальной
струны не удовлетворяют дисперсионному соотношению (75). Поэтому можно
ожидать, что обертоны струны рояля, например обертоны С256, G384 и С512
основного тона С128, не будут выдерживаться точно. Действительно, это
так. Из уравнения (74) или из графика рис. 2.13 видно, что возрастание
волнового числа А вызывает не прямо пропорциональные, а несколько меньшие
увеличения частоты. Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля
будут чуть-чуть ниже предсказываемых теорией для непрерывной струны:
частота второй гармоники будет v2<256, третьей v3<[384 и т. д. На самом
деле это не так! Обертоны струны рояля не будут ниже, они будут выше (т.
е. будут диезными) обертонов, следующих из уравнения (75). Объяснение в
том, что ни модель совершенно непрерывной и совершенно упругой струны,'
ни модель струны с грузами не дают правильного описания колебаний струны
рояля. В частности, модель струны с грузами хуже модели непрерывной
струны, так как она дает поправку, знак которой неверен.
Трудности с непрерывной моделью объясняются тем, что струна рояля не
является совершенно гибкой. Когда вы изогнете ее, она выпрямится вновь,
даже если нет натяжения, помогающего ей в этом. Поэтому возвращающая
сила, действующая на маленький сегмент струны (т. е. сила, стремящаяся
выпрямить струну), будет чуть-чуть больше силы, предсказываемой моделью
совершенно гибкой струны. Частота моды, конечно, определяется из условия
со2= возвращающей силе на единицу смещения и на единицу массы. Более
высокие моды имеют более короткие длины волн, и, следовательно, им
отвечает больший изгиб струны. Поэтому недостаточная гибкость струны
(жесткость) играет большую роль для высоких мод, чем для низких, частота
возрастает скорее, чем это следует из модели совершенно гибкой струны.
Все сказанное можно представить себе следующим образом. Возвращающая
сила, вызванная натяжением, и та ее часть, которая связанас жесткостью,
возрастают с ростом ^.Однако поскольку влияние жесткости относительно
сильнее для больших к, чем для малых, то возвращающая сила, связанная с
жесткостью, должна возрастать с ростом k с большей скоростью, чем
возвращающая сила, обу-
84
словленная натяжением. Последняя пропорциональна №. Оказывается, что
сила, обусловленная жесткостью, пропорциональна №. Таким образом,
дисперсионное соотношение для реальной струны рояля имеет вид
со2 " - №-\-а№, (76)
где а - положительная константа, появление которой вызвано наличием
жесткости. Если бы член, связанный с жесткостью, был пропорционален /г2,
то мы снова получили бы отсутствие дисперсии, описываемое уравнением
(75), в котором вместо TJр0 стояло бы (Т0/ро)+а и отношения частот
удовлетворяли бы равенствам v2= =2v1, v3=3v! ит. д., т.е. снова были бы
"гармоническими". Рассмотрим примеры.
П р и м е р 2. Продольные колебания в системе, состоящей из пружин и
масс. Этот важный пример позже поможет нам понять свойства звуковых волн.
(Звуковые волны представляют собой продольные колебания, т. е. колебания,
перпендикулярные фронту волны.)
Случаи, когда N=1 и N=2, были рассмотрены в пп. 1.2 и 1.4. Рассмотрим
сейчас общий случай N масс, соединенных пружинами, как показано на рис.
2.14.
П=1 2 N-1 N
rji) к
2=0 а 2а (N-i)a Na (N+l}a=L
Ф
2=0 а 2а
I |
I I
I I I
(N-I)a
Na
i
'h-I *1
1-1
Рис. 2.14. Продольные колебания N масс и N-J-1 пружин. а) Равновесное
положение; б) конфигурация для общего случая.
Легко вывести уравнение движения груза п. (Если вам это трудно,
посмотрите вывод для М=2, п. 1.4.) Мы получим
М^==М(фп+1-ф")-
-Фп-l)-
(77)
Математическая форма уравнения (77) совпадает с формой уравнения (62),
затем исключением, что множитель ТJa заменен на коэффициент жесткости
пружины К• Поэтому все наши математические выкладки можно повторить.
Заменяя в уравнении (74)
85
TJa на К, получим дисперсионное соотношение
"W-2/?si"^=2/l:si"ir- (78>
Для моды с волновым числом k движение груза п определяется выражением
ф" (/) = A sin nka cos [со (k) t + tp], (79)
где k может принимать N различных значений:
