Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
[см. приложение I, уравнение (3)]:
/ ("*) = / (гх) +(г2 - zi) (fz )х + Т <г* - ( 3^
(10)
где z2-zx=Az в соответствии с рис. 2.2. Теперь перейдем к пределу, когда
Az настолько мало, что в уравнении (10) можно пренебречь квадратичным
членом и всеми членами более высокого порядка.
61
Получим
f ы-f Ы - дг (%\ - а. & (*&*)-ь&ЬЦг3)-
dz Д dz\ dz ) дг\ dz
= ЬгЩ^П. (11)
Заметим, что начиная со второго равенства в (11) мы опускали индекс 1.
Эта справедливо, потому что мы пренебрегли производными более высокого
порядка в разложении Тейлора (10), и поэтому производная может
вычисляться в любом месте интервала Аг. Заметим также, что поскольку мы
пишем ф (г, t), то следует вновь ввести символ частной производной.
Используем теперь уравнения (9), (11) и (8), чтобы получить выражение для
полной силы, действующей на сегмент:
Fx(t) = T0Az^-^. (12)
По второму закону Ньютона эта сила равна произведению массы
сегмента АЖ на его ускорение. Скорость и ускорение сегмента
с равновесным положением в точке г можно следующим образом выразить через
ф (г, t) и ее производные:
г): (г, t) = смещение, дф (г, t)
' Ft :
д2ф (г, t)
дф (г, t) ,
= скорость, I (13)
dt2 -ускорение.
Таким образом, второй закон Ньютона (вспомним, что ДЛ4 = р0Лг) дает
р &z - = F =Т Аг -
г 0 fit2 * 0 fix2 >
т. е.
4\ Т Л2л1, /~ V\
(14)
д2ф (г, t) Т0 д2ф (г, t)
dt2 Ро <?z2
Классическое волновое уравнение. Уравнение (14) - весьма знаменитое
уравнение второго порядка в частных производных. Оно называется
классическим волновым уравнением. Мы будем часто с ним встречаться и
познакомимся со многими свойствами его решений и с физическими
ситуациями, которые описываются этим уравнением. (Конечно, положительная
константа ТJр0 характерна для задачи о струне. В других физических
задачах, которые приводят к волновому уравнению, появляются другие
положительные константы.)
Стоячие волны. Попытаемся найти нормальные моды непрерывной струны,
которые представляют собой стоячие волны. Предположим, что мы возбудили
какую-то моду и, следовательно, все части
62
струны совершают гармоническое движение с одинаковой угловой частотой и и
с одинаковой фазовой постоянной ф. Тогда функция ф (z, t), представляющая
собой смещение частиц, которые в равновесии находятся в-z, должна иметь
одну и ту же временную зависимость вида cos (и^+ф) для всех "движущихся
элементов", т. е. для любых г. Как обычно, фазовая постоянная
соответствует "моменту включения" моды. "Геометрия" моды зависит от числа
степеней свободы а, Ь, с и т. д. и определяется отношением амплитуд
колебаний А, В, С и т. д., соответствующих этим степеням.
В случае непрерывной струны, когда степеней свободы бесконечно много и
они определяются параметром г, амплитуда колебаний для различных степеней
свободы (т. е. "геометрия" моды) может быть представлена в виде
непрерывной функции от z, которую мы обозначим А (г). Функция A (г)
характеризует моду; каждой моде соответствует определенная функция А (г).
Теперь мы можем написать общее выражение для стоячей волны.
ф (z, t) = A (z) cos (со^ + ф). (15)
Из уравнения (15) получим выражение для ускорения:
=- игф = -игЛ (z) cos {at -f ф). (16)
Вторая частная производная по г для уравнения (15) равна
g _ "[ j (г).у + фи = cos (at + ф) .ми", (17)
В правой части стоит знак обычной производной, так как А (г) не зависит
от времени. Подставляя (16) и (17) в (14) и сокращая на cos (со^+ф),
получим
^р1 = _(0"^Л(г). (18)
Уравнение (18) определяет геометрическую форму моды. Поскольку каждой
моде соответствует своя частота и, а в уравнение (18) входит со2, то, как
и ожидалось, каждая мода имеет свою форму.
Уравнение (18) совпадает с уравнением гармонического осциллятора, если в
последнем заменить время на координату. В общем случае решение уравнения
для такого "гармонического осциллятора в пространстве" можно записать в
виде
A (z) = A sin + ficos ^2я , (19)
где к представляет собой расстояние, на котором совершается одно полное
колебание. Величина к называется длиной волны. Этот параметр для
колебаний в пространстве имеет такой же смысл, что и период Т для
колебаний во времени. Длина волны к измеряется в сан-
тиметрах на цикл (т. е. на цикл пространственных колебаний по г) или
просто в сантиметрах.
63
Продифференцируем (19) по г дважды, получим
(20)
Сравнивая (18) и (20), находим
(21)
т. е.
Xv - л/~ - = const.
У Ро 0
(22)
Скорость волн в струне. Уравнение (22) связывает между собой длину волны
и частоту для поперечных стоячих волн в непрерывной однородной струне.
Постоянная (ТУро)1''* имеет размерность скорости, поскольку Xv имеет
размерность [длина/время]. Скорость у0=(7Уро)'/2 носит название "фазовой
скорости бегущих волн" для этой системы. (Мы будем изучать бегущие волны
в главе 4.) При изучении стоячих волн мы не нуждаемся в понятии фазовой
скорости, так как стоячие волны никуда не "бегут". Они "стоят и
колеблются", как большой "размазанный" гармонический осциллятор. В этой
