Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
уравнениях Максвелла нет У-1; из них нельзя получить, например, что
электрическое поле равно V-1 в/см.)
Комплексные волновые функции и комплексные амплитуды. Комплексную
величину Ес, реальная часть которой представляет электрическое поле Е,
можно рассматривать как суперпозицию: Ec(z, t) = ^i(z, t) + A^2{z, t),
(23)
где
фх (г, t) ,
% (2. t) = ye'(te-arf) ,
A1 = E1e~i ч>', A2 = E2e~i<s>2. (25)
Ортонормированные волновые функции. Волновые функции фх и ф2
представляют полный набор ортогональных и нормированных (сокращенно
ортонормированных) волновых функций. Прилагательное "полный" означает,
что любая гармоническая бегущая волна может быть представлена
суперпозицией функций фх и ф2 с соответствующими постоянными комплексными
коэффициентами At и Л2. Прилагательное "ортонормированный" означает, что
имеют место равенства
ФГ-Ф1=Ф2-Ф2 = 1, ФГ-Ф2=Ф2-Ф! = 0, (26)
где звездочка соответствует комплексно-сопряженному выражению (т. е.
выражению, в котором i заменено на -г). Проверим равенства (26):
фщфх= ] • [хе''<*г-(r)9] =х.х--=1,
ф*.ф2 = ] . [ygW:z-<of) J _ х .у = 0.
Найдем выражение для квадрата абсолютной величины комплексного вектора
Ес. Помня об условии ортогональности, получаем
| Ес |2 ^ (Ес') • (Ес) = {АЖ + АЖ) • (Mi + АЖ) =
= |Л1|2 + |Л3|2 = ?? + ?1. (27)
Комплексное выражение для среднего по времени потока энергии. Скорость
счета у детектора фотонов, помещенного в пучок электромагнитных бегущих
волн, пропорциональна среднему по времени потоку энергии в пучке. Более
точно: если частота излучения равна со, то средняя скорость счета R для
детектора с площадью сечения Л
и эффективностью фотокатода б будет равна (в единицах фотоны/сек)
/? = ^.Л.е, (28)
И со
где средний во времени поток энергии <S> [в эрг/{см2-сек)] равен
<S> = ?_<?*> (29)
361
и
<Е2> = <(х?, + у?Д2> = <??> + <Ер = y"?J + Д2?2. (30)
В окончательном выражении (30) множитель'/2 появляется в результате
усреднения по времени квадрата амплитуды гармонических колебаний
[выражение (21)].
Сравнивая выражения (27) и (30), мы видим, что, работая с комплексной
величиной Ес, реальная часть которой равна электрическому полю Е, мы
получим верное выражение для среднего по времени потока энергии, если для
среднего по времени квадрата величины Е возьмем половину квадрата
абсолютного значения Ес:
Е = Re Ес 5== реальная часть Ес, (31)
<Е2> = у2 ] Ес |2, (32)
где
<Е2> = <?;> + <?2>, I Ес |2 = ] Ехс |2 +1 Еус |2. (33)
Различные представления состояния поляризации. Наиболее
общее состояние поляризации может быть представлено суперпозицией волн,
линейно-поляризованных по х и у. Естественно, что существует бесконечное
число направлений, которые можно выбрать для х, и, соответственно,
существует бесконечное число представлений состояния с линейной
поляризацией. Переходя к комплексным величинам, можно сказать, что
существует бесчисленное число полных наборов ортонормированных волновых
функций фх и ф2, которые можно использовать для получения суперпозиции,
определяющей Ес. Для примера положим, что единичные векторы ех и е2
получаются из первоначальных векторов х и у поворотом х и у на некоторый
угол ф (направление вращения от х к у). Легко показать, что в этом случае
справедливы соотношения
e1 = xcos9-(-ysin9, е2 = - хэшф + усоэф. (34)
Полный набор ортонормированных волновых функций, соответствующий линейно-
поляризованным колебаниям по направлениям ех и е2, имеет вид
ф^ё,^' = (35)
Легко показать, что фх и ф3 удовлетворяют условиям ортонормиро-ванности
(26).
Представление произвольно поляризованного колебания суперпозицией
колебаний, поляризованных по кругу. В общем случае поляризация в
гармонической бегущей волне может быть представлена как суперпозиция
поляризованных компонент с левой и правой спиральностью, обладающих
соответствующими амплитудами и начальными фазами. Например, волна,
линейно-поляризованная по х, может быть представлена двумя эквивалентными
выражениями:
E = X/4cos(fez-<ot) (36)
362
или
А
Е = -J- {х cos [coi - kz] + у cos [(юг - я/2) - kz]} +
+ -j- {xcos [сЩ- kz] +у cos [(со^ -j-я/2) - kz]}. (37)
(Множители при у имеют одинаковую величину, но их фазы различаются на л;
при сложении они дают нуль.)
Выражение (36) представляет Е как колебание с амплитудой Л, линейно-
поляризованное по х. Уравнение (37) представляет Е как суперпозицию
компонент, поляризованных по кругу. Их моменты импульса направлены по +z
и -z, и амплитуда каждой компоненты равна А/2. Комплексные выражения,
соответствующие выражениям (36) и (37), имеют вид
Е<.= Ахе1 (38)
Ec==-I_ jxg! (кг-at) _|_у(У {кг-[at-(п/2)]} j _j_
+ уЛ [xe*<te-шО-fye' {*г-[и/+(я/2)]} ]. (39)
Используем равенства
е"(л/2) = cos?l_j_ jsini = ^ e-i (я/2) = С03Д- г sin-g-=-i, (40)
чтобы придать выражению (39) более краткий вид:
Ес = уЛ [(x + iy)f?' -j. 1-А [(х-iy) el . (41)
Теперь мы можем указать еще один полный набор ортонорми-рованных волновых
функций, описывающих состояния круговой поляризации:
