Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
уравнениями (75) и (76) из п.7.3.
7.32. Закон дисперсии для волн в воде [уравнение (72), п.7.3] был получен
при рассмотрении стоячих волн. Как выглядит закон дисперсии для бегущих
волн?
7.33. Закон дисперсии для волн поверхностного натяжения. Поверхность воды
ведет себя как растянутая мембрана. В равновесии натяжение по оси х
определяется коэффициентом поверхностного натяжения Т= 72 дин/см,
умноженным на длину L вдоль "неинтересного" г-направления (см. рис. 7.5 и
7.6). Если поверхность выпуклая, то вследствие поверхностного натяжения
возникает давление, направленное вниз. Покажите, что для синусоидальной
волны давление, направленное вниз, равно
Покажите, что вес воды создает постоянное давление (давление при
равновесии) и дополнительное давление
Покажите, что вклад поверхностного натяжения в величину возвращающей
силы, отнесенной к единице массы и единице смещения (т. е. в величину
со2), может быть получен из гравитационной возвращающей силы заменой рg
на 77г2. Этим вы докажете, что в общем случае закон дисперсии имеет вид
7.34. Плоские электромагнитные волны. Покажите, что для электромагнитных
плоских волн в вакууме уравнения Максвелла, которые связывают Еу и Вх,
"эквивалентны" уравнениям Максвелла, связывающим Ех и Ву, в том смысле,
что один набор уравнений может быть получен из другого путем простого
поворота системы координат относительно оси г (т. е. оси распространения)
на 90°. Покажите на чертеже ориентацию векторов Е, В и осей х, у.
7.35. Стоячие электромагнитные волны в вакууме. Покажите, что если Ех(г,
/) - стоячая волна вида ЕХ=А cos со/ cos kz, то Ву (г, /) имеет форму
стоячей волны A sin со/ sin kx.
7.36. Выражения для энергии электромагнитных стоячих волн. Предположим,
что форма стоячих волн определяется уравнениями задачи 7.35. Найдите
плотности электрической и магнитной энергий, а также вектор Пойнтинга как
функции пространства'и времени. Рассмотрите область длиной в 1/4Х,
простирающуюся от узла до пучности Ех. Постройте график Ех и Ву
относительно г для этой области в моменты времени /=0, Т/8 и Т/А. Для
этой же области и этих же времен постройте график плотности электрической
и магнитной энергий, а также график плотности полной энергии. Определите
направление и величину вектора Пойнтинга Sz для этих моментов времени.
фу = A cos (со/ - kx) f (у),
p = Tk2tyy.
Р = Рё%-
349
7.37. Связанные линейные дифференциальные уравнения первого порядка для
волн в струне. Рассмотрим непрерывную однородную струну с линейной
плотностью Ро и равновесным натяжением Т0. В такой струне могут
распространяться недиспергирующие волны со скоростью о= У7'0/р1). Введем
следующие функции Fx (г, t) и F2 (г, /):
Таким образом, равно произведению l/о иа поперечную возвращающую силу,
приложенную к струне справа от г со стороны струны слева от г, и F2 равно
поперечному импульсу, приходящемуся иа единицу длины. Покажите, что Ft и
удовлетворяют связанным уравнениям первого порядка
J_dFi=_aF2 dFj
v dt дг ' о dt дг
Покажите, что одно из этих уравнений "тривиально", т. е. представляет
собой тождество. Покажите, что второе уравнение эквивалентно второму
закону Ньютона. Обратите внимание на то, что эти уравнения похожи по
форме на два уравнения Максвелла, связывающие Ех и Ву, если Ех заменить
на Flt а Ву на F2. Аналогично, одно из этих двух уравнений Максвелла
может рассматриваться как "тривиально е тождество", если известна
специальная теория относительности.
7.38. Найдите такие волновые величины Fi (г, t) и F2 (г, t) для
продольных волн в струне с грузами, чтобы они удовлетворяли связанным
уравнениям первого порядка такого же вида, как в задаче 7.37. Сделайте то
же для звуковых волн и для электромагнитных воли в передающей линии. (В
последнем случае связанные уравнения не будут просто похожи по форме на
уравнения Максвелла. Это будут уравнения Максвелла, записанные через ток
и напряжение вместо полей Ех и Ву.)
7.39. Покажите (прямым интегрированием), что значение sin20, усредненное
по всем направлениям, равно 2/3. Здесь 0 - угол между данным направлением
н фиксированной "полярной" осью. При интегрировании используйте
сферические полярные координаты.
7.40. Миражи на автостраде. Управляя автомобилем в жаркий летний день,
можно наблюдать, как далеко впереди появляются водоемы, отражающие небо,
или фары приближающейся машины. Когда вы подъедете ближе, отражения
неожиданно пропадут, как только угол отражения (измеренный от поверхности
шоссе) станет больше некоторого критического угла. Эти отражения, или
"миражи", связаны с полным внутренним отражением света, падающего из
холодного воздуха (более плотная среда) в более теплый воздух около
поверхности шоссе. Более теплый воздух имеет меиыную плотность и меиыний
показатель преломления. (Напомним, что разность л2 - 1 пропорциональна
плотности воздуха.) Предположим, что температура воздуха у покрытия
автострады иа величину АТ больше температуры на расстоянии нескольких
