Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
групповая?
6.7. Покажите, что если показатель преломления света равен п (?.), то
J_ = J 1_ dn(X)
с dk '
где Я - длина волны света в вакууме.
6.8. В таблицах для скорости света в вакууме дано значение с= (2,997925+
±0,000001)- Ю10 см/сек. Предположим, что вы измеряете скорость света,
определяя время прохождения прерывающимся лучом расстояния от одного
пункта до другого и обратно (после отражения от зеркала). Вначале вы
пренебрегали тем, что луч распространяется в воздухе, а не в вакууме.
Теперь определите поправку, которую нужно ввести, чтобы из измеренной
скорости получить скорость света в вакууме, предполагая, что свет
распространяется в воздухе с фазовой скоростью. (Для показателя
преломления воздуха возьмите значение п= 1+0,3-10-3.) Пов-
284
торите вычисление поправки, предполагая, что свет распространяется в
воздухе с групповой скоростью. Чтобы оценить поправку в этом случае,
воспользуйтесь 'результатами задачи 6.7 и предположите, что молекула
воздуха неотличима от молекулы стекла. Если бы плотность числа молекул в
воздухе и стекле была одинаковой, вы могли бы получить значение dn/dk из
табл. 4.2 п. 4.3. В действительности для воздуха плотность равна Ы(ы2,7-
1019 молекул/см3, а для стекла Nr&2,6х X Ю33молекул/см3. Найдите dn/dX
для воздуха (для желтого света), используя табл. 4.2 и соответствующую
поправку для плотности. Зависит ли результат от того, какую из двух
поправок вы используете (имея в виду точность определения скорости
света)? Какую поправку следует использовать?
6.9. Покажите, что для затухающего гармонического осциллятора время
затухания т равно
1 1 Д^потер
^ -^запас
6.10. Предположим, что вы ударили по картонной трубке. В течение
короткого времени вы слышите ноту, соответствующую самой первой моде.
Предположим, что мы имеем дело с затухающими гармоническими колебаниями и
можем говорить о некотором времени затухания т. Удвоим длину трубки.
Частота моды уменьшится в два раза. Предположим, однако, что вы
возбуждаете трубку так, что в ней происходят колебания с первоначальной
частотой (эта частота соответствует теперь второй моде удлиненной
трубки). Считаем, что после быстрого возбуждения воздух совершает
свободные затухающие колебания.
а) Предположим, что все потери энергии определяются излучением с концов
трубки. Сравните новое время затухания со старым.
б) Предположим, что диаметр трубки настолько мал, что потеря энергии на
концах трубки пренебрежимо мала по сравнению с потерей на трение вдоль
стенок трубки и излучением от боковых поверхностей трубки. Сравните новое
и старое время затухания.
в) Предположим, что, воздействуя на новую и старую трубки одинаковым
параметром (частота колебаний которого соответствует частоте самой низкой
моды первоначальной короткой трубки) и изменяя длину трубки с помощью
бумажного "тромбона", вы измеряете ширину резонансной полосы новой и
старой трубок. Сравните полосу длины ЛL для двух случаев, упомянутых
выше. Найдите связь между ЛL и полной полосой частот. Используйте
результаты задачи 6.9.
6.11. Опыт. Волновые пакеты на воде. Лучшим способом уяснения разницы
между групповой и фазовой скоростями является наблюдение волновых пакетов
на поверхности воды. Чтобы образовать расходящиеся круговые волновые
пакеты с преобладающей длиной волны 3-4 см или больше, бросьте в бассейн
или пруд большой камень. Чтобы создать прямые волны (двухмерный аналог
трехмерных плоских волн), опустите в ванну или большой таз деревянный
прут и резко ударьте по нему несколько раз в вертикальном направлении.
После некоторой практики вы заметите, что для этих пакетов фазовая
скорость больше групповой. (См. табл.
6.1, п. 6.2.) Вы увидите небольшие волны, возникающие иа заднем конце
пакета, проходящие через пакет и исчезающие впереди. (Это требует
небольшой практики, так как волны распространяются достаточно быстро.)
Такие волны можно также образовать, поместив на конце ванны доску и
постукивая по ней.
Чтобы создать волны миллиметровой длины (волны поверхностного натяжения),
используйте глазную пипетку, наполненную водой. Пусть на поверхность воды
в тазу падает капля из пипетки с высоты в несколько миллиметров. В этом
случае будут возникать волны с доминирующей длиной в несколько
миллиметров. Чтобы убедиться в том, что эти волны возникают благодаря
поверхностному натяжению, добавьте в воду немного мыла и повторите опыт.
Вы заметите уменьшение групповой скорости. Чтобы убедиться в том, что
более длинные волны вызваны не поверхностным натяжением, можно повторить
этот опыт с длинными волнами. Для увеличения длины основной волиы в
группе капля должна падать с большей высоты.
Покажем, как убедиться (без сложных измерений), что миллиметровые волны
имеют большую групповую скорость, чем сантиметровые или еще более длинные
волны.
285
Образуйте пакет, содержащий как миллиметровые, так и сантиметровые волны,
капнув в круглый таз, до краев наполненный водой, каплю с высоты примерно
