Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор мы имели дело только с восемнадцатимерным многообразием Mis. Легко видеть, какие изменения нужно внести в формулировку вышеприведенных результатов для того, чтобы применить их к многообразию М12, которое получается, если мы рассматриваем только те движения, для которых центр тяжести системы тел _Р0? Лг лежит в начале координат. В этом случае шесть координат, дающих положение и скорость центра тяжести тел Р0 и Р1? определяют подобные же координаты для Р2.
Совершенно аналогичные результаты получаются для двенадцатимерного многообразия Mi2 тех состояний движения, для которых центр тяжести системы всех трех тел лежит в начале координат.
Как было указано выше, все эти результаты могут быть получены прямым применением метода регуляризации уравнений, предложенного Сундманом и Леви-Чивита. Рассмотрение соответственных формул приводит нас к следующему дополнительному заключению. В расширенном многообразии Mi8 не только состояния движения при соударе-
Проблема трех тел
273
нии оказываются образующими три пятнадцатимерных многообразия, но и кривые движения должны рассматриваться как аналитические и как изменяющиеся аналитически с изменением начальной точки и интервала, при условии, что этот интервал измеряется таким параметром., как и, где
§ 8. Дальнейшие свойства движений. Случай К < 0 не представляет никаких трудностей, поскольку вопрос касается общего качественного характера движений. Равенство Лагранжа (15) обеспечивает, что d2R2jdt2 будет в этом случае превосходить ЦК\. Следовательно, линия, изображающая R2 как функцию от t в плоскости с прямоугольными координатами ?,#2, будет представлять собою кривую с одним минимумом, обращенную всюду выпуклостью вниз, т. е. R2 будет безгранично возрастать.
То же заключение будет, очевидно, справедливым и для К — О, по крайней мере если U не приближается к нулю. Но это может случиться только в том случае, когда все три взаимных расстояния тел безгранично возрастают.
В случае, когда К ^ 0, / > 0, по крайней мере два, если не все три? взаимные расстояния тел безгранично увеличиваются при безграничном возрастании или убывании времени. В случае К ^ 0? / = 0 то же утверждение справедливо, если только движение не оканчивается (в том или другом направлении времени) тройным соударением.
Желательно было бы, разумеется, более полное качественное рассмотрение движений, для которых К ^ 0. Но и на основании только что сформулированных результатов мы можем рассматривать этот случай как «решенный» в качественном смысле.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая / > 0, К > 0, т. е. случая, когда не все константы площадей равны нулю и потенциальная энергия системы недостаточна для того, чтобы все три расстояния между телами могли безгранично возрастать.
Останется, таким образом, нерассмотренным случай / = 0, К > 0. В этом случае движение будет происходить существенно в одной плоскости, и здесь, быть может, посредством надлежащего уточнения неравенства Сундмана возможно получить результаты, подобные тем, которые получены для случая / > 0, К > 0.
Мы переходим к рассмотрению некоторых простых и важных свойств движения в случае / > 0, К > 0.
В случае / > 0? К > 0 наименьшее из трех расстояний между телами не может превзойти М2 )ЪК.
274
Глава 9
Доказательство очевидно. Из интеграла энергии (12) следует, что U не меньше, чем К. Но все расстояния го, ri, г2 будут не меньше наименьшего расстояния г. Отсюда получаем:
Ш0Ш1 + 771x1712 + т0ГП2 ^ к 1‘ ^ Л.
Числитель левой части не превосходит М2 j3, откуда непосредственно следует доказываемое неравенство.
В случае / > О, К > 0 наибольшее из взаимных расстояний Г{ будет обязательно превосходить наименьшее rj по крайней мере в к раз при условии, что
2m* V2 Щ%.
^ к2М3 ^ ЗК ’
где тп* обозначает наименьшую из трех масс то, mi, т2.
Для того, чтобы доказать это утверждение, обозначим через к\ фактическое отношение наибольшего расстояния к наименьшему. Тогда мы будем иметь:
2 ^ (momi + тот2 + raira2)fc2r2 ^ Мк\г2
М 3 5
где г обозначает наименьшее из расстояний. Из подобных же вычислений находим:
^ m0mi + ra0m2 + mim2 ^ М2 ^ г ^ Зг ‘
Но равенство Сундмана (16) вместе с формулой (18) дает
Ат < 2 U.
R2
Если мы применим к этой формуле выведенные выше неравенства для R2 и С/, то легко получим
4/2
г >
fc2M3*
Но поскольку R равно по меньшей мере га^г, причем тп в свою очередь не менее половины наименьшей массы га* [см. равенства (7)], находим:
r> 2m*V2
> kjM3
Проблема трех тел
275
Следовательно, если R не превосходит первого из выражений, указанных в формулировке доказываемого утверждения, то мы тотчас видим, что ki превосходит к. Это доказывает первую часть нашего утверждения.
Для того, чтобы доказать вторую часть, обозначим через г наибольшее из расстояний r*o, ri, г*2- Мы имеем тогда
Если мы применим теперь выведенное уже неравенство для наименьшего расстояния г вместе с только что написанным, то найдем:
Следовательно, если R не меньше второго из написанных в формулировке утверждения выражений, то ki будет больше к. Это доказывает вторую часть утверждения.
