Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Проблема трех тел
287
куррентным движениям, и различные другие линии потока, которые остаются в окрестности рекуррентных при возрастании или убывании времени. Линии потока, соответствующие этим рекуррентным движениям и упомянутым соседним движениям, не могут, разумеется, приближаться к границе М7.
Для того, чтобы найти распределение таких периодических движений, рекуррентных движений и соседних с ними движений, очевидно, необходим был бы тщательный и подробный дальнейший анализ. В заключение мы произведем только очевидную классификацию движений, основанную на функции R(t).
Произвольное движение в проблеме трех тел для случая />0? К>О принадлежит при возрастании t к одному из следующих четырех типов:
1. R возрастает до +оо; в этом случае одно из тел удаляется безгранично от остальных двух, тогда как расстояние между этими последними остается ограниченным.
2. R стремится к некоторой величине R, a U стремится к 2К; в этом случае предельное движение будет специального типа, как, например, в лагранжевом решении, когда три тела находятся в вершинах равностороннего треугольника.
3. R(t) ограничено, как в случае (2), но колеблется между двумя значениями, движение в этом случае будет таково, что взаимные расстояния и скорости тел будут ограничены все время, за исключением, быть может, случаев двойных соударений или приближений к таким соударениям, и среди предельных движений будут непременно существовать периодические или другие рекуррентные движения.
4. R(t) колеблется между каким-то положительным значением и +оо; это — промежуточный случай, когда скорости остаются ограниченными, за исключением случаев двойных соударений и приближений к двойным, но не тройным соударениям, а одно тело время от времени удаляется произвольно далеко от остальных двух, близких друг к другу тел с тем, чтобы затем снова к ним приблизиться.
Ту же классификацию можно, разумеется, провести и для случая убывающего t.
Единственное утверждение, нуждающееся здесь в пояснении, состоит в том, что если R стремится к R, то U приближается к 2К. Но можно доказать, что это следует из равенства Лагранжа (15).
§ 12. Обобщение на случай большего числа тел и более общих законов силы. В этом параграфе мы рассмотрим возможность обобщенно предыдущих результатов на случай большего числа тел, а также более общего поля сил. При этом мы совершенно исключим из рассмотрения вопрос о соударении тел. Для нашей цели достаточно, чтобы после соударения нескольких тел было возможно какое-нибудь
288
Глава 9
продолжение движения, при котором количество движения, его момент и постоянная энергии оставались бы теми же после соударения, что и до него; мы предположим также, что если
R2 =
то Rf можно считать непрерывным при соударении; здесь mi, ... , тп обозначают массы тел Pi, ... , Рп соответственно, М есть сумма всех этих масс, а обозначает взаимное расстояние тел Pj и Pj.
Пусть функция сил U будет какой-нибудь функцией расстояний г^-, однородной, измерения —1 относительно этих расстояний. Для функции U этого типа сохранится первоначальный вид дифференциальных уравнений десяти интегралов, неравенства (20) Сундмана и лагранжева равенства (15), при условии, что / обозначает полный момент количества движения системы относительно ее центра тяжести.
Наши рассуждения, приведенные в этой главе, основывались главным образом на этих аналитических соотношениях. Следовательно, мы можем высказать следующий результат.
Пусть U будет аналитической функцией от взаимных расстояний п тел Pi (г = 1, ... , п) с координатами ж*, Zi и массами rrii, соответственно, и пусть U будет, кроме того, однородной функцией этих расстояний измерения —1. Если все п тел достаточно близки друг к другу в некоторый момент времени, причем полный момент количества движения / и постоянная энергии К больше нуля, то по крайней мере два из взаимных расстояний между телами становятся весьма большими при безграничном возрастании или убывании времени.
Дальнейшее рассмотрение показывает, что условие однородности, наложенное на U, может быть заменено следующим условием:
где 0 < d < 2, так что и для этих более общих функций по крайней мере два из взаимных расстояний между телами становятся очень большими.
В этом случае функция Н принимает следующий более общий вид:
Г м2
H = Rd R'2 + - ^ + 2К .
(2 - d)R2
Я не пытался выяснить условия, при которых по крайней мере два из взаимных расстояний становятся бесконечными.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре
§ 1. Введение. Увенчанный премией мемуар Пуанкаре «Le probleme de trois corps et les equations de la dynamique», напечатанный в 13 томе «Acta mathematica», содержал первый подступ к не-интегрируемым проблемам динамики. Под руководством профессора Миттаг-Лефлера журнал «Acta mathematica» имел много замечательных статей, но, быть может, ни одна из них не имела большего научного значения, чем эта. Ее многочисленные идеи, в которых периодические движения играли центральную роль, естественным образом повели к дальнейшим динамическим исследованиям Пуанкаре.
