Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Общая теория диналшческих систем
207
разумевать любое связное подмножество Мг, никакая точка которого не является предельной для точек, принадлежащих Мг, но не лежащих в этом подмножестве.
Предположим, что наша теорема неверна и что имеется замкнутая область Е, ни одна точка которой не принадлежит специальному движению. Но в М существует по крайней мере одна совокупность Е рекуррентных движений; эти рекуррентные движения будут в рассматриваемом случае специальными движениями и, следовательно, будут все лежать целиком в дополнительной области F = М — Е.
Рассмотрим все точки, лежащие на расстояния, меньшем е, от Е, где е выбрано таким образом, что ^-окрестность совокупности Е лежит целиком в области F. Если мы теперь будем безгранично увеличивать t, то эта г-окрестность будет двигаться, причем может быть одно из двух: либо при достаточно малом е ни одна точка е-окрестности не выйдет из F, либо по крайней мере одна точка е-окрестности, в конце концов, выйдет из F, каково бы ни было е.
Легко показать, что второе предположение невозможно. В самом деле, устремим е к нулю и будем рассматривать последовательность дуг PQ кривых движения в F, таких, что Р лежит в е-окрестности, совокупности Е, a Q лежит на границе F и соответствует более позднему моменту t. Очевидно, что полукривая движения в направлении убывающего времени, начинающаяся в какой-нибудь предельной точке Q последовательности точек Q для lime = 0, лежит целиком в F, кроме точки <2, и определяет специальное движение, что невозможно, так как она содержит точку Q, принадлежащую Е. Таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением первого предположения.
В этом случае обозначим через ё верхнюю грань всех е, для которых совокупность всех точек, лежащих на полукривых движения, исходящих из точек е-окрестности совокупности Е в направлении возрастающего t, лежит целиком в F. Легко видеть, что эта верхняя грань ё обладает тем же свойством. Точки, лежащие на полукривых движения, исходящих из точек ё-окрестности, и предельные движения образуют расширенную область R, в которой лежит Е. Никакое движение, лежащее в R, не пересечет, если его продолжить в направлении убывающего времени, границы F в какой-либо точке Р, потому что в противном случае полукривая движения в направлении возрастающего времени, проходящая через Р была бы специальным движением, проходящим через точку Р, принадлежащую Е. По этой же причине область R должна лежать целиком в Р. Но если мы теперь рассмотрим полукривые движения, проходящие через точки, лежащие в е'-окрестности Р, то убедимся, что некоторые из этих полукривых должны пересекать границу F в каких-то точках Q, соответствующих более позднему моменту
208
Глава 7
времени; в противном случае е не было бы наибольшим допустимым значением е. Выберем последовательность е', так что lime' = 0, и соответственную последовательность точек Q. Тогда полукривая движения в направлении убывающего времени, проходящая через какую-нибудь предельную точку Q точек Q, будет специальным движением, проходящим через точку Q, лежащую в Е.
Итак, мы пришли к противоречию, что доказывает нашу теорему.
Обобщая немного это рассуждение, мы можем получить следующий более точный результат.
Если какая-нибудь связная область F множества Мг содержит в себе кривую движения, то существует по крайней мере одно специальное движение, проходящее через точку, лежащую на границе этой области, и содержащееся в ней в направлении возрастания (убывания) t.
Будем рассматривать е-окрестность кривой движения, лежащей в области F. При безграничном уменьшении (эта окрестность движется, и предыдущие рассуждения покажут нам, что вышеприведенное утверждение должно быть справедливым, за исключением того случая, когда для достаточно малого в ни одна точка е-окрестности нашей кривой не выходит при этом движении за пределы F.
Рассматривая эту ^-окрестность вместе со всей частью области F, которую она покрывает при убывании ?, мы получим расширенную область. Эта расширенная область должна оставаться в F и при возрастании t и быть инвариантной. В самом деле, если бы какая-нибудь точка перешла при движении в направлении возрастания в точку Q вне этой области, то достаточно малая окрестность точки Q при своем движении в направлении убывающего времени не налегала бы на свое начальное положение, начиная с некоторого момента, что противоречит свойству региональной рекуррентности.
Если мы возьмем за е точную верхнюю границу всех возможных значений е, то получим инвариантную область Ry состоящую из полных кривых движения. Рассматривая точки в s'-окрестности области R и заставляя t убывать, мы найдем, как прежде, что некоторые из движений в этой окрестности должны, в конце концов, покинуть F в точке Q. Устремляя е* к нулю, мы найдем предельную точку Q! точек Q, через которую проходит движение, лежащее в F при возрастании ?, что и требовалось доказать.
§ 10. Рекуррентные и полуасимптотические центральные движения. Мы будем говорить, что движение является «положительно (или отрицательно) полуасимптотическим» по отношению к минимальному множеству рекуррентных движений, если это множество есть единственное минимальное множество, содержащееся
