Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Общая теория динамических систем
205
точек данного движения. Мы должны показать, что совокупность Е содержит минимальное подмножество.
Разделим М на большое число малых областей, диаметром не больше ?, где ? — выбранная нами положительная константа (первая сеть). Среди движений, принадлежащих Е, найдется такое, которое проходит через наименьшее число этих малых областей, когда t изменяется от —оо до +оо. Пусть Еi будет соответственное замкнутое множество, состоящее из кривых предельных движений. Это множество составляет часть ? и лежит целиком в тех же областях. Разложим эти маленькие области на еще более мелкие области, диаметром не больше е/2 (вторая сеть). Среди движений, принадлежащих ?i, будет такое, которое проходит через наименьшее количество этих новых областей при изменении t от —оо до +оо. Определим ?2, как соответствующее замкнутое множество, состоящее из кривых предельных движений; ?2 будет частью Ei.
Продолжая таким же образом, мы определим бесконечную последовательность Ei, Е2, ... замкнутых, связных, состоящих из кривых движения совокупностей, каждая из которых содержится в предыдущих. Возьмем теперь в каждой ?п какую-нибудь точку Рп и пусть Р* будет предельная точка совокупности точек Pn. Р*, разумеется, принадлежит Е, как предельная точка последовательности точек множества Е. Кроме того, так как Рп содержится в ?ш (ш ^ п), то предельная точка Р* принадлежит Е, Ei, ... Следовательно, вся кривая движения, проходящая через Р*, принадлежит Е, Ei, ... (так как Е, Ei, ... состоят из кривых движения). Но отсюда и из способа определения совокупностей Ei, Е2, ... следует, что кривая движения проходит через все области R-й сети, через которые проходит ?#, и, следовательно, ее предельными точками должны быть все точки общей части Ег совокупностей Е, Ei, Е2, ...
Тем же самым рассуждением можно показать, что любое движение, лежащее в ?г, имеет в качестве своей а- или ^-предельной совокупности само множество ?.г. Иначе говоря, ?г представляет собою требуемое минимальное множество.
Ниже приводимая теорема показывает, что точка Pt или порождает рекуррентное движение, или же она равномерно часто приближается к рекуррентным движениям.
Для всякого ? > 0 существует промежуток Т, настолько большой, что любая дуга PtPt+T содержит хотя бы одну точку, лежащую на расстоянии, меньшем е, от какой-нибудь группы рекуррентных движений.
Доказательство весьма просто. Допустив, что теорема неверна, мы можем найти для сколь угодно больших Т дуги кривых движения PtPt+2T, не имеющие точек на расстоянии, меньшем ?, от рекур-
206
Глава 7
рентных точечных групп. Пусть теперь Р*+г? будет середина такой дуги. Если Р* есть предельная точка точек Pt+т для limT = оо, то вся кривая движения, проходящая через Р*, очевидно, не содержит точек, лежащих на расстоянии, меньшем е, от какой бы то ни было рекуррентной точечной группы. Но совокупности а- и ^-предельных точек для этой кривой содержат каждая минимальное множество. Таким образом, мы приходим к противоречию, так как каждое движение в минимальном множестве по определению рекуррентно.
§ 9. Плотность специальных центральных движений. Очевидно, что вопрос о структуре совокупности центральных движений Мг имеет огромное теоретическое значение. Эта замкнутая совокупность движений характеризуется, как мы видели, свойством региональной рекуррентности, и, следовательно, существование п-мерного инвариантного объемного интеграла в случае уравнений классической динамики обеспечивает для этого случая совпадение Мг с М.
Мы хотим установить несколько простых свойств совокупности центральных движений
Совокупность Мг состоит из одной или нескольких связных частей, каждая из которых содержит по меньшей мере одно минимальное множество рекуррентных движений.
Всякое центральное движение, а- или ^-предельные точки которого не заполняют целиком какой-нибудь связной части множества Мг, мы будем называть «специальным центральным движением». Согласно этому определению рекуррентное движение будет специальным, если только соответствующее минимальное множество не является само той связной частью множества Мг, к которой наше рекуррентное движение принадлежит. В частности для классической динамики специальными являются такие движения, которые не проходят сколь угодно близко от всех возможных состояний движения либо при возрастании, либо же при убывании времени.
Специальные центральные движения всюду плотны на любой связной части совокупности центральных движений? за исключением того случая7 когда эта связная часть состоит из единственного минимального множества рекуррентных движений.
В случае классической динамики (Mr = М) специальные центральные движения оказываются, таким образом? всюду плотными на М, за исключением того случая, когда само М является минимальным множеством рекуррентных движений.
При доказательстве этой теоремы мы будем считать, что Мг совпадает с М, но из доказательства будет очевидно, что те же рассуждения Мг совершенно так же применимы к любой связной части множества Мг при условии, что под областью совокупности Мг мы будем под-
