Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Но по предположению точка Q лежит внутри достаточно большого квадрата, с центром в О и сторонами длины 2М, параллельными осям координат.
Следовательно, пока ?, увеличиваясь, остается меньшим любого значения, при котором Q пересечет ось абсцисс, ж, которое тоже увеличивается и ограничено, стремится к некоторому пределу х.
Если t стремится к конечному пределу t, когда х стремится к ж, то по теореме существования движение может быть продолжено за t;
Существование периодических движений
135
но, разумеется, при этом уже не будет у > 0 по определению t. Следовательно, в этом случае мы должны иметь у = 0, и кривая пересекает ось абсцисс в точке (ж, 0). Нужно заметить, что ж не может быть нулем. В противном случае мы имели бы два решения, а именно, данное решение x(t), y(t) и решение х = 0, у = 0, удовлетворяющие оба начальным условиям х = 0, у = 0 при ? = ?, что противоречит теории единственности.
Если t безгранично увеличивается, когда ж стремится к ж, то можно показать, что точка (ж, у) стремится к (0, 0). В самом деле, допустим противное. Очевидно, что так как х постоянно возрастает, оставаясь все время меньше М по абсолютной величине, а у тоже остается все время меньше М по абсолютной величине, то точка (ж, у) имеет пределом либо одну точку (ж, 1/), либо отрезок (ж, у), где у0 <С у <С уг.
Но это последнее предположение, очевидно, потребовало бы бесконечно большой кривизны х интегральной кривой вблизи точек (ж, у0) и (ж, уг). Так как х выражается формулой
(где /ж, fy обозначает частные производные / по х и у), то отсюда следовало бы, что у2 + /2 было вблизи (ж, у0) и (ж, ух) бесконечно мало. Но это могло бы быть только в том случае, если ж, у0, у1 все обращались в нуль, что противоречит сделанному предположению.
Следовательно, у должно стремиться к некоторому пределу 1/, когда t безгранично возрастает^).
Очевидно теперь, что длина дуги интегральной кривой
безгранично увеличивается вместе с ?, если только (ж, у), не стремится к (0, 0), а бесконечная длина дуги тоже требует бесконечной кривизны(2).
Таким образом, мы получили, что либо Q приближается к началу координат О слева при безграничном возрастании t, либо Q пересекает ось абсцисс в некоторой точке Qi = (жх, 0).
В этом последнем случае очевидно, что точка Q, перейдя через ось ж, начнет двигаться влево. Совершенно теми же рассуждениями мы покажем, что или точка Q при безграничном увеличении t будет все
ж
yUxV + fyf) - /2
(у2 + П%
t
0
136
Глава 5
время двигаться влево, приближаясь к точке (0, 0), или же она должна
вновь пересечь ось абсцисс в точке Q2 = (х2у 0) при t = t.
Точки Qi и Q2 должны при этом лежать на оси х по разные стороны от начала О. В самом деле, в противном случае f(xi, 0) и /(;х2, 0) имели бы одинаковый знак [потому что /(ж, 0), равное нулю, только при х = 0 не обращалось бы в нуль между х\ и х2\, и точка Q должна была бы двигаться вниз от Q2, подобно тому, как она это делает в Qi. Отсюда легко усмотреть, что Qi должно лежать справа, a Q2 — слева от О.
В самом деле, Qi во всех случаях должно быть справа от начала, потому что, если бы Qi, лежало слева, то частица при своем движении влево от Q1 не могла бы стремиться к началу координат и, следовательно, должна была бы пересечь ось абсцисс в некоторой точке Q2,лежащей, таким образом, с той же стороны от начала, что и Q\.
Повторяя это рассуждение бесконечное число раз, приходим либо к конечному числу точек пересечения Qi, Q2, ... , Qn интегральной кривой с осью абсцисс, лежащих поочередно слева и справа от О, после последней из которых Q стремится к О, либо к бесконечной последовательности точек пересечения Qi, Q2y ..., тоже лежащих поочередно слева и справа от О.
Из топологии полученной фигуры очевидно(3), что в последнем случае кривая может либо спиралеобразно удаляться от О, стремясь к некоторому ограничивающему овалу, окружающему О, либо образовывать сама такой овал, либо спиралеобразно приближаться к такому овалу извне (как показано на рис. 1), либо образовывать спираль, приближающуюся к точке О. Из элементарных теорем существования и единственности, разумеется, следует, что кривая не может пересекать или касаться самое себя.
Следовательно, мы имеем следующие, единственно возможные, типы устойчивого прямолинейного движения частицы в поле сил с одним положением равновесия:
a) Частица колеблется бесконечное число раз около положения равновесия с возрастающей амплитудой колебаний, стремясь асимптотически к периодическому движению.
b) Частица колеблется периодически около точки равновесия.
c) Частица колеблется бесконечное число раз около точки равновесия с убывающей амплитудой, стремясь к периодическому движению асимптотически.
d) Частица колеблется конечное или бесконечное число раз и стремится к положению равновесия.
e) Частица находится в положении равновесия(4).
На основе приведенных рассуждений можно получить ясную кар-
Существование периодических движений
137
тину всех возможных движений частицы под действием любого поля сил указанного типа.
Рассмотрим упорядоченное множество различных замкнутых кривых в плоскости х, у, отвечающих периодическим движениям. Все эти кривые, очевидно, должны заключать начало координат, которое можно рассматривать как первую, самую внутреннюю из этих кривых.
