Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Весьма важно показать, что это определение полной устойчивости независимо от выбранной нами системы координат х\, ... , Х2т-В самом деле, предположим, что данная система вполне устойчивая. Произведем допустимое преобразование координат:
Xi = (fit(x 1, , X2m,t) (i = 1, ... , 2 m),
где (pi — аналитические функции от х\, ... , X2m,t, равные нулю в начале координат и при этом такие, что определитель \d(pi/dxj\ не равен нулю в начале координат, причем коэффициенты в разложении по степеням #i, ... , Х2т суть аналитические периодические функции от t периода т. Тогда две переменные
t=t о
e=[x2i + --- +
е = [xi н-----Ь х1т] ^
t=t о
очевидно, обе одинаково могут служить для измерения расстояния от начала при t = так как мы имеем
О < d < I < D
в окрестности начала(13).
Рассмотрим теперь какой-нибудь полином Ps(xi, ... , ?), ко-
торый, очевидно, может быть представлен в виде
Р {х\, . . . , Х2пгч Н" . . . , X2rri')
Устойчивость периодических движений
117
где Р* есть полином относительно ... , ж2ш, не содержащий членов степени ниже s, a Q может быть представлено как степенной ряд, начинающийся с членов степени не ниже / + s + 1. Очевидно, что, с одной стороны, полином Р* может быть представлен тригонометрической суммой указанного типа с ошибкой порядка / + s + 1 относительно г (по условию полной устойчивости), а с другой стороны, что Q само порядка / + S + 1. Следовательно, полином Р8(хi, ... , ж2ш? t) может быть представлен той же самой тригонометрической суммой с ошибкой того же порядка. Таким образом, полная устойчивость системы в новых переменных доказана.
Сам по себе факт, что множители системы 2га дифференциальных уравнений первого порядка распадаются на т чисто мнимых пар, отнюдь не доказывает полной устойчивости системы в установленном выше смысле. Простым примером системы, не обладающей полной устойчивостью, хотя и имеющей только чисто мнимые множители, может служить система двух уравнений:
^ = ку + х(х2 + у2), ^ = -кх + у(х2 +;</2),
где к положительно и за основной период взято 2п. Множителями этой системы будут чисто мнимые количества Но, если первое из
этих уравнений мы умножим на 2ж, а второе на 2у и получившиеся уравнения сложим, то будем иметь
*=2»5 (и = I2 + Л,
откуда, интегрируя, получаем
и =
2uo(t - to)
Если бы система обладала полной устойчивостью, то мы могли бы найти постоянное целое число N настолько большое, что для некоторого постоянного К имело бы место неравенство
\и - SNI ^ Ки%,
где Sn изображает тригонометрическое выражение порядка N указанного выше типа; это следует из того, что и является однородным квадратичным полиномом относительно х и у, а г^о — квадрат расстояния е2. Вышеприведенное неравенство может быть записано в виде
и — no Sn — Щ ul ul
118
Глава 4
Пусть теперь г^о стремится к нулю. Очевидно, что
lim U И° = 2(t - t0).
«о=0 ul
Отсюда следует, что
lim^^ = 2(t-t0).
^о=0 и%
Но стоящее в левой части выражение является тригонометрической суммой указанного вида порядка не выше 7V; эта сумма стремится к своему пределу равномерно. Следовательно, на основании леммы о тригонометрических суммах, формулировка и доказательство которой содержатся в § 5 и 6 этой главы, предел этой суммы будет суммой того же вида. Но представить 2(t — to) как конечную тригонометрическую сумму, очевидно, невозможно. Следовательно, в этом случае мы не имеем полной устойчивости.
Как мы видели, условие, чтобы все множители были чисто мнимыми количествами, необходимо, хотя и недостаточно, для полной устойчивости. Обозначая т пар чисто мнимых множителей через d=Ai, ... , ±АШ, мы будем в дальнейшем предполагать, что между Ai, ... , \ш и 27Гл/—1/т нет никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами. Разумеется, при этом предположении мы исключаем из рассмотрения некоторые особые случаи, которые требуют дальнейшего изучения.
Для полной устойчивости оказывается необходимым выполнение бесконечного множества условий помимо условия, чтобы все множители были чисто мнимыми.
§ 5. Нормальный вид для вполне устойчивых систем. Мы видели уже, что пфаффовы и гамильтоновы системы уравнений обладают свойством полной устойчивости в случае, если характеристические числа их будут чисто мнимыми. Естественно возникает очень интересный вопрос об отыскании условий полной устойчивости системы в наиболее общем случае и о характеристике движений вблизи точки обобщенного равновесия, обладающего такой полной устойчивостью. Мы ответим на эти вопросы, приведя уравнения вполне устойчивого типа к некоторому определенному «нормальному» виду. Так как Ах, ... , Аш — чисто мнимые количества, различные между собою, то мы можем произвести такое линейное преобразование переменных #i, ... , #2m> что система уравнений в новых переменных pi, gi, ... , рш, qm будет иметь вид
^=-А iPi+Pi, d^=\iqi + Qi (г = 1, ... , m),
Устойчивость периодических движений
119
где pi и qi — сопряженные комплексные переменные, a Р*, Qi — ряды, начинающиеся с членов не ниже второй степени(14).
Произведем теперь вторую замену переменных
