Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
независимых полей симметрий: ими являются гамильтоновы поля г;я,
?'/.<,.... vpk. Эти интегралы попарно находятся в инволюции, поэтому
каждая из функций Н, Fi,... ,Fk - интеграл каждой из систем уравнений z =
ьц, z = vp,, ..., z = vpk. Согласно теореме 3, по крайней мере 2(Аф1)-1 =
2Аф1 мультипликаторов периодической траектории у равны единице.
Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на
другой идее. Пусть f(p) - \Р - рЕ\ -характеристический многочлен матрицы
монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями
свободы. Положим f(p) = = (р - 1 )д{р). Согласно известной теореме
Пуанкаре- Ляпунова, многочлен д возвратный: р2п~2д{]-/р) = д(р)-
Следовательно, если уравнение д{р) = 0 имеет корень р = 1, то его
кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона
допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится
равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за
наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий vp.
5. Обратимся теперь к гамильтоновым системам с гамильтонианом
Н = H0(y1,...,yn) + ?Hi(xl,...,xn,y1,...,yn) + o(e) , (8.13)
аналитическим по у,х mod 2л, е. Положим сначала е = 0 и предположим, что
при у = у° частоты
шх=дНй/ду1, ... , LOn = dH0/dyn (8.14)
связаны ?i - 1 независимым резонансным соотношением
k\uj\ ф ... Ф knuj,i - 0 , к{ ? ^ ^ ^ (АД ^ 0 .
Другими словами, все траектории невозмущенной системы, лежащие на n-
мерном инвариантном торе Т^0 = {.т mod 2л, у0}, замкнуты. Эти
периодические траектории, разумеется, изоэнергетически вырождены (см.
следствие теоремы 4) и при добавлении возмущения, как правило, перестают
быть замкнутыми. Однако, как впервые заметил Пуанкаре, в типичной
ситуации при малых значениях ? ф 0 возмущенная гамильтонова система имеет
несколько невырожденных периодических решений, которые при е - > 0
переходят в периодические решения, расположенные на резонансном торе Ту
S Козлов В. В.
225
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Перейдем к точным формулировкам. На торе Т"0 по предположению нет
положений равновесия, поэтому хотя бы одна из частот (8.14) отлична от
нуля при у - у0. Пусть, например, шп ф 0. При у = у0 функция Н\(шф +
Ль...', Шп-Ф + A"_i, ujnt. Ух,...,Уп) периодична по t с некоторым
периодом т. Ясно, что т - период невозмущенных периодических решений.
Положим h(Ai,...,A"_i) = Эта функция 27г-периодична по
Ai,..., An_i.
Теорема 5 (Пуанкаре [146]). Предположим, что при у = у0
det
д2Н0
ду^Уз
det
0
д2 Но од 7^0
dyidyj ^71
(8.15)
Пусть Ао - невырожденная критическая точка функции h :
02h
dh{ Ао) = 0
det
dXidXj
7^0
Л=Ло
Тогда при малых ? ф 0 существует изоэнергетически невырожденное
периодическое решение возмущенной гамильтоновой системы с периодом т; оно
аналитически зависит от ? и при ? = 0 совпадает с периодическим решением
невозмущенной системы
У = У°, Щ = w1(t/°)t+A?,
cn_i = o7"_i(2/0)?-|-A°_1, хп = un(y°)t.
Подробное доказательство этого результата, основанное на теореме о
неявных функциях, приведено в книге Пуанкаре [146, гл. III, IV]. Случай
двух степеней свободы изложен в [83].
При 71-2 второй определитель (8.15) равен
д2Н0
ду22
2u>iU>2
д2Н0
ду\ду2
+ а>2-
,д2Н0
дУ\
(8.16)
Пусть Но - положительно определенная квадратичная форма с постоянными
коэффициентами: Но = (у, у)/2 - Y1 ач'Уг'У] /"2.. Тогда выражение (8.16)
равно -(у,у)6, где 6 = det ||a,j||. Для периодического решения имеем у0 ф
0, значит, в этом случае второе условие (8.15) заведомо выполнено.
Отметим, что если выражение (8.16) при у = у0 отлично от нуля, то кривая
H0(yi,y2) - #0(2/1,2/г) на плоскости К2 = {у\,у2} в точке у = у0 не имеет
перегиба.
226
§ 8. Рождение изолированных периодических решений
Пусть Н1 = hm{y) ехр[г(?п, ж)] (т ? Ъп). Через Л обозначим множество тех
т ? Z", для которых (m, w(y0)) = 0. Положим
R(x) = ^ hm(y°)exp[i(m,x)], т ? А. (8-17)
Ясно, что /г(Аь... ,An_i) = R(XU Л"_ь0).
Так как h - функция на (п - 1)-мерном торе Т"-1 = = {Ai,..., An"i mod
27г}, то она имеет по меньшей мере п различных критических точек; правда,
они могут оказаться вырожденными. В типичной ситуации все критические
точки h невырождены. Из теории Морса известно, что в этом случае число
различных критических точек не меньше 2n_1. При п = 2 это максимум и
минимум функции h на окружности Т1.
6. Принципиальной основой доказательства неинтегрируемости возмущенных
уравнений является следующее утверждение (ср. с леммой 1 из § 1): если
функция F = Fq(x, y) + eFi(x,y) +..., (ж, у) ? ? Тп х К", является
интегралом невырожденных уравнений Гамильтона с гамильтонианом (8.13), то
1) F0 не зависит от ж;
2) функции Н0 и F0 зависимы в точках множества Пуанкаре Pi.
Первая часть утверждения легко вытекает из невырожденности невозмущенной
системы. Докажем, используя теорему 5, зависимость функций Н0 и Fo на
множестве К невозмущенных торов У = 2/°> удовлетворяющих условиям этой
