Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
u>Q,v^Q
Формула (5.9) выводится из (5.5) с учетом леммы 4. Сначала заметим, что
либо сг =$ (u-l)a+f3, либо <5 =$ (v - l)a + /3. В противном случае
векторы сг, <5, сг + <5 попарно линейно зависимы. Если одновременно сг -<
ua и & -< va, то имеем противоречивое неравенство та + /3 = сг + 6. -< (u
+ v - 1)а + /3 = та + (3. Следовательно, согласно лемме 4, в (5.5) надо
учитывать лишь следующие пары векторов сг, 6: 1) сг = иа, 6 = (v -
1)а + /3; 2) сг = (и - 1 )а + (3,
6 - va. Для завершения доказательства осталось воспользоваться симметрией
формулы (5.5) по сг и <5. Лемма доказана. Преобразуем формулу (5.9):
*(ш,та+/3)5(tm)^ = Да;' т+Д)va+P)SHi&• (5Л0)
u+v=m, ' '
и> 0,v^0
Вводя обозначения Лт = mS(tm)a, рт+\ = i(cv,ma + /3)5(tm)"^,
1 (^-i "Ь /3) /- 1. .
с = -----------гг, запишем (5.10) в виде дт+1 = ^ CKPv+i-
'УСУ -f- pj u+v-m,
^ u>0,v^0
Лемма 6. Справедливо равенство
Дт+1 ^т-^1 Mli (^*И)
где 6tQ I, ат ~uKuh dvlV7 h Т7 г*
u-fv=m,
u>0,v^0
205
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Доказательство проводится индукцией по т с применением формулы (5.7).
Положим иКп = ги. Из формулы (5.8) получаем
п = 1, гт = Ггр. (5.12)
u+v=m,
С учетом нового обозначения, ">о,1"о
ат= ruhu~lavlv. (5.13)
u-\-v=m) и> 0,v^0
(X)
Лемма 7. Имеет место соотношение 1 - \/1 - 2z = Гц^".
71= 1
Следствие. При m > 1 rm = (2 ш - 3)!!/m!! Доказательство леммы 7. Из
(5.12) следует, что
<50
степенной ряд f(z)= J2 rnZn удовлетворяет уравнению /2 - 2/ +
71- 1
+ 2z = 0. Так как /(0) = 0, то f(z) = 1 - \/1 - 2z, что и требовалось. Из
формулы (5.13) получаем последовательно
^1 = П^о, а2 = Тг/l/o +
аз = r3h2l0 + rir2hl0h + r^hl^ + rflokk,
Лемма 8. При m ^ 1 имеет место соотношение
ат= rji-iarh~P ¦ ¦ ¦ rm-jkh (^-14)
0=jo<ji <...<jk<m
Формула (5.14) просто выводится из (5.13) индукцией по т.
Приступим к анализу множества Пуанкаре. Векторы а и (3 по предположению
линейно независимы, поэтому гиперплоскости {ш,а) = 0 и Гт = {у : (ш,та +
(3) = 0} не совпадают. Согласно лемме 1, функции S° аналитичны почти
всюду на Гт при г < т + + 1. Для того, чтобы выяснить, принадлежит ли
гиперплоскость Гт множеству Pm+1, необходимо проверить условие рт+\ Ф 0.
Воспользуемся формулой (5.11). В ней Ai = Sf, pi = i(w,p)S%. Коэффициенты
Si и Sf отличны от нуля согласно формуле (5.4) и определению вершин а и
/3. Если (ш,@) = 0 на гиперплоскости
206
§ 5. Критерий интегрируемости (для тригон. многочлена)
Гт, то векторы а и /3 должны быть коллинеарными. Это, однако, не так.
Следовательно, ф 0 и р\ ф 0. Поэтому рт+1 Ф 0 при ат ф 0 и только тогда.
Рассмотрим два случая: (а, а) = 0 и (а, а) ф 0. В первом из них h - 0, и
(по лемме 8) ат = 1$1\ ... 1т-\. Согласно предположению (5.3), {а,(3) ф
0, поэтому /" ф 0 для всех ls, и, следовательно, ат ф 0. Во втором случае
введем число А = = (а, /3)/(а, а). В точках гиперплоскости Гт выполнено
равенство - -т(ш,а), поэтому lv = h(А + v)/(v - т). В рассматриваемом
случае h ф 0, поэтому из (5.14) следует, что ат = 0 тогда и только тогда,
когда А является корнем многочлена
Р (х) - V г г • (ж+-7о)---(ж+-7*) /5 15ч
тИ~0 ¦ т~]кЫ-ш)...ик-тУ [5Л5)
Лемма 9. Имеет место соотношение
р-~^(х + 1)-(х + Ч1)- (5'16)
Для доказательства леммы 9 рассмотрим новые многочлены
- X
1
Qn{y) = , Q 0 = --- (5.17)
х=у-п у
Лемма 10. Справедливо рекуррентное соотношение
iQm = X] Tu(v ~ y)Qy- (5.18)
u-ф v-m, u>0,v^0
Доказательство. В формуле (5.15) сделаем замену m -ji = г*_(+1. Тогда
п / \ ^
* m\^J = рт 4" m
х х + m - ik х + m - ii
-m -ik -U
0<t'i
Выделив отдельно суммирование no i,t, получаем
m - 1
pm{^) = ~Y.p^x>^ p* = l-
ik= о
207
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Это соотношение можно переписать в виде
гаТ = ?(*~т'х)^ГТГ"-''
к=0
Полагая х + т - уиРп = (п - y)Qn, приходим к равенству
т-1
TuQm(y) У ^y^m-kQк{,У)) Qo 1 /2/i
к-О
которое эквивалентно (5.18).
Лемма 11. Справедливо тождество
1 /1 + VI -2z\2y
4nz = -
n~ О
" 1 /1 + Vl-2^\2y
Х>' ) ' (5Л9)
Доказательство. Положим g(z) = QnzU¦ Соотноше-
гг=0
ние (5.18) приводит к следующему дифференциальному уравнению для функции
g: zdg/dz - (zdg/dz - yg)f', здесь f - функция из леммы 7. Решая это
линейное дифференциальное уравнение с начальным условием д(0) = -1/у,
получим
i(\ + vi=Tz\2y
а ) '
что и требовалось доказать.
Функция (5.19) аналитична при малых z. Найдем ее ряд Мак-
1 (I +2Л2У
лорена. Положим g(z) = F(ip Ч.г)), где F(z) = - ( --- ) , <р =
У V 2 /
= (l - z2)/2. Так как <V(1) Ф 0) то можно воспользоваться теоремой
Бюрмана - Лагранжа [46]:
g{z) = g( 0) +
zm d
m~ 1
m! dzm 1
m= 1
z - 1 2
гдеФ = -т-г- =-----------. Из формул (5.19) и (5.20)
легко получаем
?>(*) 1 + -
, " ( 2m - 1 \ / 2т - 2 \ / т + 1
m'-Qm= -^ У) -^-----------------------У ••• -^----------У
208
§ 5. Критерий интегрируемости (для тригон. многочлена)
Возвращаясь к старой переменной х и используя соотношение
(5.17), приходим к формуле (5.16) для многочлена Рт(х). Лемма 9 доказана.
