Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Разложение возмущающей функции Нх в кратный ряд Фурье по угловым
переменным х\ и х2
? И(tm),+ Y, н(tm),~ie!'(mx'-^) + Y, #m,oe!mx' (2.3)
фактически содержится в одной из работ Якоби. Он указал разложения
направляющих косинусов свободно вращающегося тела в тригонометрические
ряды по ujxt и u>2t (оц и ш2 зависят лишь от постоянных интегрирования).
Возмущающая функция сводится к линейной комбинации направляющих
косинусов, поэтому разложения Якоби после замены оф и сo2t на углы хх и
х2 дают именно ряд Фурье (2.3). Если тело несимметрично, то коэффициенты
Нт<± 1 отличны от нуля при достаточно больших значениях |т| [83, гл.
III]. В частности, отсюда следует, что в этой задаче множество Пуанкаре Р
и вековое множество В совпадают. Если главные моменты инерции подчинены
неравенству 1\ > /2 > /3, вековое множество состоит из бесконечного числа
прямых, проходящих через точку у = 0 и накапливающихся у пары прямых 77 и
7г2. Можно показать, что функция Но невырождена в области Д. Если бы
функция Н0 была аналитичной по у во всей области Д, то можно было бы
применить результаты § 1: точки тД лежащие на прямых 7г 1 и 7г2,
удовлетворяли бы условиям теоремы 3. Трудность,
188
§ 2. Приложения метода Пуанкаре
связанную с аналитическими особенностями функции Гамильтона в переменных
действие - угол, можно преодолеть, рассматривая задачу о дополнительном
интеграле, аналитическом на всем интегральном уровне Мс. Точкам у € В
отвечают двумерные торы невозмущенной задачи Эйлера, накапливающиеся у
сепаратрис неустойчивых постоянных вращений вокруг средней оси инерции.
Совокупность этих резонансных торов образует ключевое множество для
класса функций, аналитических на поверхности уровня Мс. Пусть F = ?Fr?r-
дополнительный интеграл, причем все функции Fr аналитичны на Мг. С
помощью метода Пуанкаре доказывается, что функции Fo и Я0 зависимы на
резонансных торах задачи Эйлера, "занумерованных" переменными действия у
? В. Учитывая ключевое свойство этой совокупности торов, получаем, что Но
и Fo всюду зависимы на Мс. По индукции отсюда уже несложно вывести
зависимость интегралов Н и F (детали можно найти в книге [83]). Итак,
справедлива
Теорема [76]. Если тяжелое твердое тело динамически несимметрично, то
уравнения вращения не имеют независимого от функции Но + sH\ формального
интеграла J2 Frer с аналитическими на уровне Мс коэффициентами.
Это утверждение дает отрицательный ответ на вопрос, поставленный Пуанкаре
в [146, п. 86].
Возвращаясь к исходной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы,
получаем, что уравнения вращения тяжелого несимметричного твердого тела с
неподвижной точкой не имеют дополнительного интеграла, коммутирующего с
интегралом площадей, в виде формального ряда по степеням ? с однозначными
и аналитическими во всем фазовом пространстве коэффициентами. Учитывая
известную связь между формальными по ? интегралами и полиномиальными
интегралами обратимых систем (см. § 1, гл. И), приходим к следующему
результату: в несимметричном случае нет дополнительных интегралов в виде
многочленов по импульсам с аналитическими на группе 50(3) коэффициентами,
коммутирующих с интегралом площадей.
3. В качестве еще одного примера рассмотрим возмущенное движение волчка
Лагранжа (см. § 5, гл. II). Более точно, речь пойдет о вращении тяжелого
динамически симметричного твердого тела (F = F), у которого центр масс
слегка смещен относительно оси динамической симметрии. Пусть п, г2- г3-
координаты центра масс относительно осей инерции. Фиксируя значение г3 ^
О,
введем малый параметр ? = \/ri + г2 / гт
При ? = 0 имеем вполне интегрируемую задачу Лагранжа. Поставим задачу о
наличии дополнительного интеграла в виде формального ряда по степеням ?,
коммутирующего с интегралом площадей. Ее решение проводится по схеме,
изложенной в работе [76].
189
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Сначала с помощью интеграла площадей понижается порядок гамильтоновой
системы и осуществляется переход к переменным действие - угол ж,- mod 2л,
у, (г = 1,2) невозмущенной задачи. В этих переменных разложение
возмущающей функции Н\ в двойной ряд Фурье имеет вид (2.3) (где надо
положить Нт$ = 0). Если
Пт^О, /i ф /3 , (2.4)
то коэффициенты Фурье Нт ±i отличны от нуля. Как показано в работе [149],
при условиях (2.4) вековое множество В в возмущенной задаче состоит из
бесконечного числа замкнутых кривых, охватывающих точку у0, причем
замыкание множества В состоит из одной точки у0, которой отвечает
неустойчивое вращение волчка Лагранжа вокруг вертикали. Ясно, что вековое
множество В является ключевым для класса функций, аналитических в любой
окрестности точки у0, поэтому здесь можно было бы воспользоваться
теоремой 3. Однако функция Гамильтона Но имеет при у = у0 особенность,
следовательно, теорема 3 непосредственно не применима. Эта трудность
преодолевается так же, как и в работе [76]: функция Гамильтона H0 + eHi
аналитична в фазовом пространстве T*SO(3) = ЙГ х 50(3), поэтому
