Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
*=1
множеством гамильтоновой системы; резонансное множество определено в
Кп={и}. Отождествляя декартовы пространства
400
§ 5. Возмущения гамильтоновых систем
Кп={т} и Rn={y}, получим множество точек в пространстве {у}. Это
множество в дальнейшем также будет обозначаться через В.
С аналитической точки зрения причина появления "малых знаменателей" для
потенциалов с вещественными экспонентами та же, что и в случае компактной
поверхности Мп; разница лишь в том, что аналитическое предположение о
представимости решения системы (5.1) в виде кратного ряда Фурье обычно
формулируют геометрически как условие однозначности на Мп.
Резонансное множество В играет ту же роль, что и множество Пуанкаре Р в
классической схеме теории возмущений инвариантных торов (ср. с § 4 гл.
IV). Целесообразность введения и изучения резонансного множества ясна из
следующего утверждения.
Предложение 2. Пусть гамильтонова система (4.3) имеет п полиномиальных по
импульсам интегралов с коэффициентами вила (4.6). Тогда их старшие
однородные формы не зависят от координат х и являются зависимыми
функциями во всех точках множества В.
Доказательство предложения 2 повторяет соответствующие рассуждения из § 1
и § 5 гл. IV (с учетом специфики рассматриваемой задачи они приведены в
работе [102]).
Строение резонансного множества гамильтоновых систем с экспоненциальным
воздействием описывает
Лемма (основная). Пусть выполнены все условия теоремы 3 из § 4. Тогда
множество В*, содержит гиперплоскость (ka + + (3, у) = 0. В частности,
резонансное множество В состоит из бесконечного числа различных
гиперплоскостей, и его замыкание содержит гиперплоскость (у, а) = 0.
Старшие однородные формы полиномиальных интегралов являются
аналитическими функциями в К" = {у} (предложение 2), поэтому из
предложения 2 и основной леммы вытекает теорема 3 § 4. Действительно,
якобиан старших однородных форм есть аналитическая функция в Е"= {у},
обращающаяся в нуль на бесконечном множестве гиперплоскостей, проходящих
через начало координат. Следовательно, якобиан тождественно равен нулю,
поэтому старшие однородные формы п полиномиальных интегралов всюду
зависимы.
Доказательство леммы 1 с незначительным усложнением повторяет
доказательство основной леммы из § 5 гл. IV (изменения касаются только
леммы 5; все детали доказательства леммы 1 содержатся в [102]).
3. Не следует думать, что каждое решение уравнений системы
(5.1) обязательно имеет сингулярности на "резонансных" плоскос-
- 8S 8S х
тях. Рассмотрим простои пример. Уравнение i>i------Нг'гт;- - е•
8т [ 8х 2
14 Козлов В. В.
401
Глава VIII. Полиномиальные интегралы
имеет очевидное решение eXl/i>i; прямая v\ = 0 будет резонансной. Однако
можно указать решение без сингулярностей в области Е2\{0}:
1 ( (v2(v2xi - vix2)\\ ,п
- exp Ж! - exp у--к , vi ф О,
VI \ V vf + vi ) )
ХО г\ /Л
- ехра?!; v\ = 0, г>2 ф 0.
V2
Оно, конечно, не является многочленом экспонент при всех v\ + + г>| ф 0.
Это замечание позволяет обойти проблему "малых знаменателей". Оно
указывает на возможность наличия у гамильтоновых систем с
экспоненциальным взаимодействием нетривиальных интегралов другой
аналитической природы. В подтверждение сошлемся на работу [197], в
которой установлено существование аналитических интегралов некоторых
гамильтоновых систем вида
(4.2), не подпадающих под классификацию теоремы 2 § 4: они, конечно, не
являются полиномами по импульсам, коэффициенты которых - ряды от
вещественных экспонент. Эти интегралы не удается выписать в явном виде,
хотя они существуют благодаря особым свойствам поведения решений системы
(4.2) при t -> ±оо.
4. Метод решения системы (5.1), развитый в п. 2, применим и в более
общем случае, когда Мп = Т* х Е"-*. Возмущающая функция Н\ будет 27г-
периодической по первым к координатам х, поэтому представление Hi в виде
суммы экспонент следует модифицировать: первые к компонент каждого
вектора а должны быть числами из iZ (г - мнимая единица). Поскольку Hi-
вещественная функция, то для каждого а найдется такой вектор а', что:
1) первые к компонент вектора а+ а' равны нулю; 2) ha = 1га'-
И в этом более общем случае систему (5.1) можно решать методом п. 2, надо
только иметь в виду, что уравнение (a, v) = 0 задает не одну, а две
гиперплоскости: (a', v) = (а", v) = 0. Здесь а' + а" = а, причем
компоненты вектора а' вещественны, а вектора а1' - чисто мнимы, поэтому в
общем случае коразмерность резонансных плоскостей больше единицы.
§ 6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков
1. Как уже отмечалось (§ 2 гл. И), если уравнения геодезических
допускают интеграл, независимый от гамильтониана Н = Т, то найдется
дополнительный интеграл в виде однородного многочлена по импульсам.
Полиномиальный интеграл наименьшей степени, независимый от функции Н,
назовем неприводимым. Сте-
402
§ 6. Полиномиальные интегралы геодезических потоков
пень неприводимого интеграла является характеристикой сложности
интегрируемого геодезического потока.
