Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
от ж до х + dx.
в) Определить, в течение какой части периода частица имеет импульс тх в
интервале от р до р + dp.
г) На плоскости х, р = тх изобразить качественно линии Е(х, р) = = const
для случаев Е < Um, Е = Um, Е > Um.
1.6. Частица массы т может двигаться по окружности радиуса I в
вертикальной плоскости в поле тяжести (математический маятник). Найти
закон ее движения, если кинетическая энергия в нижней точке Е равна 2mgl.
Оценить период обращения маятника в случае, когда Е - 2mgl <§; 2mgl.
1.7. Определить закон движения математического маятника при произвольном
значении энергии.
УКАЗАНИЕ. Зависимость угла отклонения маятника от времени выражается
через эллиптические функции (см., например, [1], стр. 150).
1.8. Определить изменение закона движения частицы на участке, не
содержащем точек остановки, вызванное добавлением к полю U(х) малой
добавки 5U{x).
Исследовать применимость полученных результатов вблизи точки остановки.
1.9. Найти изменение закона движения частицы, вызванное добавлением к
полю U (х) малой добавки 5U (х):
a) U(x) = тиф?г 6Щх) =
2.4]
§ 2. Движение частиц в полях
mfJx4
б) U(x) = <Я7(ж) =
1.10. Определить изменение периода финитного движения частицы, вызванное
добавлением к полю U{x) малой добавки 5U(x).
1.11. Найти изменение периода движения частицы, вызванное добавлением к
полю U(x) малой добавки 5U(x).
a) U(x) = 17110 х (гармонический осциллятор), 5U(x) = т^х ;
б)и{х) = Щ^, Я7(а;) =
в) U(x) = А(е~2ах - 2е~ах), 5U{x) = -Veax (V < А).
1.12. Частица движется в поле U{x) =
Uo
ch ах
с энергией Е > Щ.
Найти время задержки частицы при движении от х = - эо до х = +оо по
сравнению со временем свободного движения с той же энергией.
§ 2. Движение частиц в полях
2.1. Описать качественно характер движения частицы в поле U(r) = = - у -
при различных значениях момента импульса и энергии.
2.2. Найти траектории и законы движения частицы в поле
- V при г < R,
0 при г > R
U =
(рис. 5, "сферическая прямоугольная потенциальная яма") при различных
значениях момента и энергии.
2.3. Определить траекторию частицы в поле
U(г) = ^ Выразить изменение направления
г
ее скорости при рассеянии через энергию и момент.
U
-V
R
Рис. 5
2.4. Определить траекторию частицы в поле U(r) = ^ Найти
г
время падения частицы в центр поля с расстояния г. Сколько оборотов
вокруг центра сделает при этом частица?
8 Задачи [2.5
2.5. Определить траекторию частицы в поле U(r) = - // + . Найти
г
угловое расстояние Aip между двумя последовательными прохождениями
перигелия (точки г = гтш), период радиальных колебаний Тг и период
обращения Tv. При каком условии траектория окажется замкнутой?
2.6. Определить траекторию частицы в поле U(r) = - // - .
г
2.7. При каких значениях момента импульса М возможно финитное движение
частицы в поле U(r)l
a) U(r) = б) U{r) = -Уе-^г\
2.8. Частица падает в центр поля U(r) = -<\г " с конечного расстояния.
Будет ли число оборотов вокруг центра, сделанных при этом частицей,
конечным? Будет ли конечным время падения? Найти уравнение траектории для
малых г.
2.9. Частица в поле U(г) уходит на бесконечность с расстояния г ^ 0.
Будет ли число оборотов, сделанных ею вокруг центра, конечным?
a) U = аг~п; б) U(r) = -аг~п.
2.10. Определить время падения частицы с расстояния R в центр поля U(г) =
-а/г, рассматривая траекторию как вырожденный эллипс. Начальная скорость
частицы равна нулю.
2.11. Определить наименьшее расстояние между частицами, если первая из
них налетает из бесконечности со скоростью v и прицельным параметром р на
вторую, первоначально покоившуюся. Массы частиц mi, тог, закон
взаимодействия U(r) = а/гп.
2.12. В системе центра масс определить траектории финитного движения двух
частиц, массы которых тоi и /то, а закон взаимодействия
U (г) = -а/г.
2.13. Определить положение фокуса пучка частиц, близких к оси пучка, при
рассеянии в центральном поле U(r), предполагая, что частица, летящая
вдоль оси, поворачивает назад.
2.14. Найти область, недостижимую для пучка частиц, летящих из
бесконечности со скоростью v параллельно оси z и рассеиваемых полем
U{г) = а/г.
2.21]
§ 2. Движение частиц в полях
9
2.15. Найти область, недостижимую для частиц, вылетающих со скоростью v в
различных направлениях из одной точки А в поле U(г) = -а/г.
2.16. Найти траекторию частицы в поле U{r) = -а/г, используя интеграл
движения А = [vM] - ^.
2.17. Определить изменение зависимости периода Т радиальных колебаний
точки в центральном поле U (г) от энергии и момента, вызванное изменением
поля на малую величину 6U(r).
2.18. Показать, что траектория частицы в поле U(r) = -ae~r/D/г при
условии rmax <С D представляет собой медленно прецессирующий эллипс, и
найти угловую скорость его прецессии.
2.19. Найти скорость прецессии орбиты в поле U(r) = -а/г1+е, где
И "1.
2.20 а. Найти угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле
2 2 Q
U = muJ<2 г + - при /3 <С muj2a6, mto2be, где а и b - параметры
невозмущенной траектории:
