Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно показать/что первые члены в правой части симметричны по индексам с и и? 9 а вторые - антисимметричны по тем же индексам. Следовательно, всякие объект можно разложить на сумму -симметричного-и антисимметричного объектов.
Таким образом, мы из заданных объектов построили новые. симметричные
* ? fe* + / * ?(fa
и антисимметричные
Построение указанным способом из данного объекта новых, симметричного и антисимметричного, называется соответственно симметрированием и альтернированием заданного объекта.
Свертка {условие о суммировании).' Это действие было введено Эйнштейном и является одним из важнейших в тензорном исчислении.
Если в одночленном выражении имеются дв^ одинаковых скользящих индекса, т.е. скользящий индекс повторяется, то этот индекс называется немрэд. Наличие немого индекса означает суммирование по всем измерениям объекта, т.е. в нашем случае от I до 3. Результат этой операции называется сверткой: часто саму эту операцию назы -вают также сверткой. иногда свертыванием.
Пусть число измерений объектов равно /[S • Тогда
CCCi = Q-Sf + &-гг * Я-зз "+ • • • T
CL 1*с а О-*** v Ct + а з аз + ... ^ Cl-asxas,
Немые индексы можно обозначать как угодно, свертка от этого не меняется, например: _
CC iL ~ CLxk Ct ЄЄ- CLnm ~ . A A «3^ .
Cl с'ліс ~ CL&C* = 0~т*/п ~ Clr?Kf> — •. . = <Z&Ar& .
Сокращенная запись, когда один и тот же скользящий индекс повторяется больше двух раз, например, CLx^a , считаете^ запретен-рой, и мы ею никогда пользоваться не будем. Такая запись ведет к ошибочным результатам. Немой индекс должен повторяться только два paaa. ^
- II -
Записи cbcLCL , G-CtKCi не означают свертки, так как повторяющееся индексы фиксирующие, а не скользящие.
' Каждая свертка уменьшает порядок объекта на две единицы.поэтому мы можем написать &и = ?; с?с*с*?*; G-Ut/»-* и т.д.
Путем последовательной свертки от объекта чєтеого порядка .ножно прийти к объекту цулевого порядка, а от объекта нечетного порядка - к объекту первого порддка.
фбегбшеяное умножение. При обобщенном умножении каждый элемент объекта - множимого умножается на каждый элемент объекта - множителя. В результате оказывается, что порядок объекта - произведения равен сумме порядков объектов сомножителей, например:
и т.д. Образованные таким образом новые объекты называются мультипликативными. Расположение индексов у сомножителей и произведения - какое угодно, но индексы должны быть одинаковыми. \ л
Рассмотрим два мультипликативных объекта Л\с и Ос*., определяете следующим образом: *
В развернутой записи мы, очевидно, имеем
Cite s
CcK ^
CL/ Si CLf Sa
^CL3 Sr (X3 &г &лOj^
ОТКуда Следует, что ЄСЛИ Произведение ЭЛеменЮВ ОбъеКТОВ CLi и Оъ
комутативно относительно сомнодителей, то
Sfcif ?га>< Sid* 4а*
Sf Uj S^(Zj «б
Ce*. * С*
С/С •
Таким образом, обобщенноо ,произведение коммутчвно относительно сомножителей- если произведение их элементов комутативно. Это чрезвычайно удобно при практическом проведении выкладок. Например,можно писать ~ р ' /> л />
Рассмотрим два объекта ^
С и * . - Лхої .
При помощи развернутой записи нетрудно убедиться, что объекты Ce* * и CiJt транспонированы, т.е., вообще говорящие равны друг другу; отокща следует, что обобщенное произведение некоммутативно относительно ]йгндй^о? ппмн9жиг<ц»ай.
Обобщенное умножение дистрибутивно, т.е.,например,
^ - Cc fa* + SkJ * С* а* + Сг& .
*
- 12 -
. Обобщенное умножение ассоциативно относительно умножения на гйсло (объект нулевого порядка); Л , 4 v / р \
Правильность этих утверждений очевидна из развернутой записи»
Обобщенное умножение со сверткой, Пусїь число измерений объектов .равно /V • Тогда ^ *
Если нам нужно умножить свертку сс^?г саму на себя, т.е.возвести ее в квадрат* то написать (&го°і)г или аг?с<Иг6°1 - нельзя, потому что при такой записи немой индекс повторяется больше двух раз. Нужно написать так:
Сверяем это обобщенное произведение, положив * = tS:
Это, очевидно, обыкновенное матричное умножение (строка на столбец) .^Подобным же образом свертки ^
CL3* / CLs к о j* / &lr о4т
означают произведения транспонированных матриц (соответственно столбец на строку, столбец на столбец, строка на строку).
Упорядочение индексов. Удобно условиться писать индексы в калом-нибудь определенном порядке, например,по алфавиту, или разбивая их на группы, или как-нибудь иначе. Обычно в результате выкладок мы приходим к выражениям, в которых индексы расположены самым причудливым образом; для наглядности с принятым соглашением. Пусть, например, в результате выкладок ш получили равенство
G- и,s* °С*? А Си^зк^?\
Сделаем подстановку индексов,, „
/ и/j/f и? )
Щ получим более удобнре расположение индексов:
OLu* $ррг ~ Сс**/оръ. Жонглирование индексами. Пользуясь указанными выше правилами (произвольное обозначение индексов в равенствах и немых индексов)» [ложно "жонглировать индексами". Это жонглирование индексами позволяет совершенно неожиданно приходить к важным результатам и на начинающих часто производить впечатление простого жульничества. В качестве примера докажем следующее предложение: свертка обобщен-ного произведения симметричного и антисимметричного объектов по индексам симметрии тождественно равна нулю.
