Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
Развернутой записью приходится пользоваться сравнительно редко, главным образом в начале изучения тензорного исчисления, когда желательно представить себе наглядно структуру объекта, а также в конце выкладок, когда- в приложениях приходится пользоваться каждом элементом.
Рассмотрим два объекта, одного и того же порядка. Элементы этих объектов, обладающие одними и теми же индексами в одном и том же размещении (или, что то же. самое, занимающие одинаковые места в
развернутой заІі-.си), назовем соответотреннкдои Например, в объ-
- 8 -
ектах CLcк. и ^CfC элементы &гг и ?гз будут соответственными; напротив, элементы ссгз и &зг не будут соответственными.
Назовем равкцмз два объекта одинакового порядка и числа измерений, все соответственные элементы которых попарно равны друг другу. Объект называется равным нулю, если все его элементы равны нулю. Это определение дает нам возможность изучать равенства объектов. ,
Нам потребуется разбить индексы на классы, приписав каждому классу индексов различные свойства. Пока введем только два класса.
Первый класс: малые латинские индексы от LL до /L ; индексы первого класса назовем Фиксирующими.
Второй класс: малые латинские индексы от с до конца алфавита; ицдексы второго класса назовем скользящими.
Индекс первого класса будет обозначать какое-нибудь одно из чисел 1,2,3, т.е. фиксирующий индекс при главной букве будет иметь какое-нибудь одно значений; например,в объекте первого порядка это будет обозначать Qggg элемент объекта.
Индекс второго класса будет обозначать сразу все числа 1,2,3, т.е. скользящий индекс при главной букве будет считаться пробегающим сраьу все значения; главная буква со скользящими индексами означает сразу все элементы объекта.
В соответствий* с этим равенство ас- oi заменяет сразу три равенства и означает сокращенную запись утверждения, что объекты
ClC и 6l равны друг другу, в то время как равенство - о«и означает только, что элементы с фиксированным индексом .равны между собою, но "сами" объекты не обязательно равны друг другу.
Необходимо запомнить слэдущее важное свойство равенства двух объектов. В обеих частях равенства скользящие индексы должны быть одинаковыми, но совершенно безразлично, какой именно буквой второго класса мы при этом воспользовались. Равенства^ ^
CLl=Sl; CLg = ?е ; CL т = б*; ~ог
совершенно равносильны. Поэтому мы условимся, что
(Z су &<, СХту ,
обозначает один и тот же объект с главной буквой Ct ; однако не имеет смысла равенство etc — Ct^ или etc *» ,ол ' Если равны друг другу два объекта второго порядка, т.е.если
то совершенно равносильными будут равенства «
до что CiCk / и т.д. означают один и тот же объект.
Однако равенства типа c/t - мы будэм считать бессмыс-
ленными. В обеих частях равенства обязательно должны быть одни ж те же индексы.
^ Отметим, что каждое из этих равенств заменяет уже девять обык вовенных равенств.
Выражение CZ - оа^ соответствует записи трех обыкновенных равенств и означает равенство ^ - х строк в развернутой записи объектов, а внражение - означает равенство х столбцов. Наконец, выражение ^^означает, что объекты имеют по одному равному элементу.
Введем теперь основные действия над объектами.
Сложение. Суммой двух объектов одного и того же порядка называется объект того же порядка, каждый элемент которого равен суше соответственных.элементов объектов - слагаемых, например:
Определение сложения распространяется только на объекты одного и того же числа измерений. Объекты разного числа измерений складывать нельзя.
ТоанспониР9вание. Это действие применяется только к объектам порядка выше первого.
Пусть имеем объект Ct+*. . Как мы уже условились, первый индекс означает всегда номер строки в развернутой записи, а второй -всегда номер столбца, какой бы буквой окине были обозначены,
Тэгда объекты Сігь "~ называются транспонированными
друг другу. Транспонированные объекты состоят из одних и тех же элементов, однако в развернутой записи они не одинаковы: у них ,строки заменены столбцами. Вообще транеронирсванные объекты не равны друг другу, но могут быть сделаны равными путем перестановки индексов. *
Объекты, состоящие из одинаковых элементов и различающееся только порядком индексов, "называются изомерами. Травспонироваїшке объекты являются частным случаем изомеров, когда одинаковое размещение индексов может быть получено перестановкой только одного индекса.
Если, в частности, сі*і / cl<ik?= cl*c? и т.д.,
то такие объекты называются симметричными по индексам с и *с ,
а вСЛИ OLiK - — CLліі ; CLCk? - — GLrt?
то' антисимметричными- по этим индексам. Индексы с и * в этих случаях называются индексами симметрии (соответственно индексеми
антидтмімртртгаї -
¦ - IO -
Клиожеїте объекта на число. Умножить объект на число-значит * умножить на это число значит умножить на это число каждый элемен* объекта. 1
Симметрирование и альтернирование. Очевидны следующие равен-
ства сц* « g fcLZ* + А*г )+?(Ъ?к~ О-**),
