Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
P VxT fr*s о,
а так как CL есть произвольный векто^, то отсюда сле-
дует уоловке
Посмотрим, удовлетворяется ли условие (12.4). ' Тензор^ Рнмана-Крпсто^еля зависит только ст символов Крис то д^еля НкС, а последние - только от производных метрического тензора JJ? <!/с по координатам. По существуют такие системы координат, в которых метрически;: тензор постоянен во всем пространстве: это косоугольная система или ее частный случал - декартовая система координат. Следовательно, з этих системах тензор Рлмана-Кристо<їфедя равен тождественно нулю. Но если тензор равен нулю в одной какой-
ФаГ ---'
ob'ob**
- 126 -
нибудь системе координат, то он равен кулю й во всякой!другой.
Итак, тензор Римана-Кристоффеля во всех системах координат равен тождественно нулю, а ковариантное дифференцирование ео всех системах координат перестановочно. Так как в трехмерном пространство тензор четвертого порядка имеет 81 элемент, то (12.4) представляет собою сокращенную запись 81 тождества.
Отметим, что это утверждение справедливо только в нашем обычном трехмерном Евклидовом пространстве, потому что главная осо-бенность Евклидова пространства состоит в том, что оно допускает существование декартовой системы коордкчат.
Ivuj можем себе представить такие пространства, в которых тензої Римана-Кристоффеля не равен тождественно нулю. Такие пространства называются неевклидовыми.
В частности, можно представить себе пространство с таким метрический тензором С/с , которой кэ обращает тензора Pz-мана-Крлстоффеля в тождественный нуль. Такие пространства называются Тумановыми. Риглановы пространства имеют, как принято говорить, кревкчидову метрику. Например, рассматривая.поверхность как двух-мерное пространство, мы придем к выводу, что в этом двухмерном пространстве тензор Римана-Кристоффеля не равен тождественно нулю. Поверхность вообще имеет неевклидову метрику.
Далее, можно представить себе пространства, е которых тензор Римана-Кристоффеля не равен нулю,и, кроме того, в котором не су -ществуег метрического тензора ^ сл. f .В самом деле, тензор Риїлана-Кристскйеля зависит только от /Ve » задав непосредственно объект Г^е , мы тем самым определяем некоторый тензор Римана-Кристоффеля, не вводя при этом никакой метриці* В этом случае объект /^e называется оф^екто.л зіхршшой связности, а соответствующее пространство -,просурацсуво^ 1^Ш9« .ЯЖУУЖГА. В этом пространстве метрика не определена, однако можно ввести некоторый фундаментальный объект, служащий для построения ассоциированных объектов, т.е. для поднимания и опускания индексов. Зтот объект в литературе часто обозначают, как и метрический тензор, через
Нужно помнить при этом, что в пространстве <: їнной связности фундаментальный объект ч'/с не определяет никаких метрических свойств.
Наряде/ с тензором (12.2) мы будем пользой вся его ассоциированным представлением
~ 127 -
- /Єікрр ~ ^iKf (12.5)
Докажем, что тензор ?-Скрр. имеет следую^ четыре свойства:
/. &?*рр s "- ?*&ipp.
J. ? <~крр * ALPP** •
ОЗГметим, что из первого и третьего* свойства сразу вытекает второе:
Однако ниже,- для упражнения, приводится и независимый вывод второ го свойства.
Первое свойство. Оно очевидно^непосредственно, так как каждая из двух разностей, входящих в тензор (12.2), изменяет знак при перемене мест индексов с о /С.
I
Второе свойство. Дяя его обнаружения необходимо сделать допол нительные преобразования. Мы, очевидно, имеем 1
Преобразуем первые два члена. Для атого заметим, что gyn С/*?- fa/*/ fa™ ^J* ~ /}../>* . Беря частные производные по координатам, получаем
- 128 -
Далее, докажем, что существует тождество
*~ 'т,~ Що* ' (12.8)
В самом деле, мы имеем
Сделав замену индексов
- 129 -
Первый и третій члены тензоров ( *) II (**) Р чекові!, остается проворить равенство вторых членов. .Мы имеем
очевидно, оди-
гп
йтсх, тензор-: ( *) и (* *) действительно равны, что и доказывает троне- СВОЙСТВО (i^.o).
CtMOITl:, -:то ;.з третього свойства непосредственно следует вто
Яікрр^ &Р?с< ~- & ррь* s ~ ^ ^pP -
Подставляя з то в (1^.7), получим
/с
или
По L3 тождества (12.8) получим
(12.9)
"^?^ 'л?*/ -э5Т 35?w
,йалее
'Г <f ' п ' fas гг , V-»"» П . '
после чего получим
- 130 - ,
*
одставляя это в (12.9), получим окончательно
Третье свойство. Чтобы его обнаружить, преобразуем первые два члена тензора (12.9).
Здесь в первом шаге мы воспользовались третьим свойством,> затем первым и затем снова третьим. ^
Четвертое свойство. Сделаем в (12..2) циклическую подстановку иддексов ,
с к P р с *
и результат сложил. Мы получил
Мы видим сразу, что в правой части все члены попарно уничтожаются, откуда и следует четвертое свойство: у
Опустив индекс т , прлучим і к/*р + ^*/*/ * &/>'хр~0.
Тождества Дяме. Мы установили, что в нашем обычном трехмерном евклидовом пространстве тензор Римана-Кристоффеля тождественно равен
нулю независимо с • того, в каких именно координатах он задан. Как уже говорилось,это дает 61 тождество, однако можно показать, что вследствие существования у тензора Римана-Криї *оффеля свойств симметрии (12.6) независимых тождеств получаете^ тльт шесть. Эти тождества были получены Ляме за 50 лет до возникновения тензорного анализа и носят его имя.
