Тензорное исчисление - Коренев Г.В.
ISIN 5-230-10783-9
Скачать (прямая ссылка):
и ш поручаем • , „
Это и есть искомый закон преобразования. В дальнейшем будет приведен вывод этого закона преобразования, не зависящий от доказательства тензорной природы ковариантной производной.
Рассмотрим абсолютную производную контравариантного вектора CL* . Пусть Sc есть произвольный параллельно переносимый вектор. Образуем скаляр P а чиї 9 производная которого по скалярному параметру есть тоже скаляр. Мы имеем
,откуда - Пі ?/At Г* л'Ae) - ?
последовательно, объект есть контравариантный тензор
первого порядка.
Так как в декартовых и косоугольных координатах все символы Крлстоффеля равны нулю, то в декартовых и косоугольных координатах абсолютная производная вектора равна обыкновенной, производной По параметру, коварпавтиая производная вектора равна частной производи по координатам.
условие параллельного переноса. В новых обозначениях условие параллельного перекоса может быть записано в одной из следующих форм :^/ - /
- 114 -
Но
Поэтому . rP<, г* cf )„;*«АЄ
Введем обозначения.' ~* ^Je ^Z** ^^€^^0)0
Назовем объект ^ абсолютной производное тензора aJ\v* , а объект Цкпг? или fSrcAc/? - его коварнантной производной. Тік как ^cl* , ¦&* , Q,^ - произвольные векторы,то абсолютная производная тензора *Л>с есть также дважды ковариантный тензор, а его ковариантная производная - трижды ковариантный тензор.
Теперь введем абсолютную и ковариантную производные смешанного тензора S %; • Для этого возьмем произвольно переносимые векторы
CL с и S t а затем образуем скаляр P- S^t ^ ^ ^ Дальнейшие выкладки приводим без пояснений: . А/л
^-ykr't ё'~г?*ъе.
%і;и:л образом, при параллельгю.\: переносе абсолютная или коваріантная производная должка равняться нулю. Так как абсолютная и ко-вариантная производная - тензоры, то это условие иновариантко, т.е. если оно' выполняется в одной какой-нибудь системе координат, то оно выполняется и во всякой другой.
Ковсриантное ди^ерериирогание тензоров любого порядка. Определим абсолютную и ковариантную производную тензора второго порядка. Такой тензор может иметь три представленияглУс^ и
$ CAZ • Рассмотрим сначала дважды ковариантный тензор . Возьмем ,два произвольных параллельно переносимых вектора d с' , ?K и образуем скаляр Sf^ A4^; тогда его производная по параметру есть тоже скаляр. Дифференцируя по параметру, получим
- 115 -
Вводим обозначения *
* I,**«-/ie*e Jf- ~ W~ ' (II.7)
• ФДІ nt QL - PS* -
* mi ' ¦
и назовем объект ^? абсолютное пооизводно'т тензора /J ,
объект или aS1^ g \ - его корзрйачтжу производной.
Абсолютная производная от fS%: , есть также смешанный
тензор второго порядка, а ковариантная производная - тензор треть-его порядка, один раз коктраварианткый и дза раза ковариантный.
В качестве примерз покажем, что ковариаьтная производ-
ная тензора сГ^с есть тензорные! нуль. Действительно, воспользовавшись формулой (10.7), мг >.;ожем написать
так как элементы изотропного тензора ок от координат не зависят.
Каконоц, введем абсолютную и коварпантную производную дважды контраваріантного тензора S6* . Дяя этого возьмем произволь яые параллелыю переносимые векторы CL с- и и образуем
скаляр P^S ^CZс s Дальнейшие выкладки снова приводим без
пояснений.
Вводим обозначения ^ . „г*
и назовем объект , абсолютное производное тензора
4< ,а объект ГАЖ - его ко вариантной
рроизводно:'!. Абсолютная^оизводная есть двалды. коктраваркаптный тензор, а коварвантная п юпзводная есть смешанный тензор третього порядка, дважды контраварпантчый п одни раз ^вариантный.
Дяя удобства запоминания выпишем вместе когариаятные производные всех трех представленії:! тензора второго порядка
Р?аіто,,рб{;>^зорзнт ^ производной любого порядка.
ассматривая таблицу (11.9), мч можем гризти к слрдухглцеїуу правилу образования коварлагтной производной тензора любого порядка. Чтобы і.олучить ковариантйую производную тензора' S по , ,
иу^но на каждый ковариагчтньт:1 шідекс с (Sli ) добавить к частной производной член - /"^? S.p. > ,
а на каждый контрас гзііантнпп индекс с (^,4\ 'J добавить член
&$.f.'іСовариантная прои&водпая есть тензор на единицу^*олее высокого порядка.
Такиїл образов, ковариантная производная тензора имеет вид
т ... Л,Є - -Зо Є- * (НЛО)
Г ?Є ^X... п * • • • * 'ре А п>... «
iv «вариантное диФОеоеншк овзнке псзгяотензоров. Из поеьдотензоров путем диф^єрея'ілироЕания можно построить другие гиевдотеизоры. Приведем без вывода выражение, которое называется коваряентнои производной псеьдотензора.
Пусть п. есть поевдотензор веса
Л7
Кто*козариантная производная есть
— /О ^ ... /7 ... ' А> ... P
&>вариантная производная псевдотензора есть псеьдотензор порядка на единицу более высокого и того же самого веса. Сравнивая (II.II), - (11.10), мы видим, чго в ковариантную производную псовдотеизора • входит дополнительный член -/VSn.'.rt Рре. , который исчезает, если вес равен кулю, т.е. если мы дифференцируем истинный тензор. В частности, ковариантная производная псевдоскаляра есть
