Калибровочные поля - Коноплева Н.П.
Скачать (прямая ссылка):
Обобщением геометродинамики является совместное решение системы
уравнений Янга-Миллса-Эйнштейна, а также совместное решение
системы уравнений для скалярных (хиггсовских), векторных
(калибровочных) и тензорных (гравитационных) полей. Здесь получены
новые типы частицеподобных решений нелинейных классических уравнений,
рассмотренные в предыдущем параграфе.
Калибровочные поля и неевклидовость пространства-времени.
Интерпретацию калибровочных полей как проявление неевклидо- вости
пространства-времени К4 можно получить, используя проек
133
цию слоя на касательное пространство к базе с помощью реперов.
В общем случае оказывается, что калибровочные поля порождают
в V4 геометрию с кручением и отличной от нуля ковариантной про-
изводной метрического тензора [3, 4].
При обычном дифференциально-геометрическом подходе геомет-
рия многообразия определяется полностью заданием трех величин
[55]: метрического тензора g^v, его ковариантной производной
Qnvx = -gVr.n и тензора кручения 5^v- Если QpVX = 0, перенесе-
ние называется метрическим. Если Q^v-c = -rVgvi:, где Гй -
некоторый вектор, перенесение называется полу метрическим и при
Spy - О - вейлевым. Если = 0, перенесение симметрическое;
при S';IV = /?[vj - полусимметрическое. Все эти разновидности
геометрий в К4 можно получить с помощью отображения слоя на
базу.
Полный коэффициент связности К4 имеет вид
Г?
;
\1% :
{(^} + V - Sp* х + Y (Qpx х + Qx % - Qx рк),
И (13.1)
где |Д| - символ Кристоффеля второго рода:
* ] = ~ gxa (dp gxa + дь gap - да gpk) - gяа Qla +
fXAJ 2
+ glx g*a gxo (dp gka + dx gap - da gpx) • (13.2)
Здесь Q*a - коэффициенты неголономности системы координат;
h
знак = определяет равенство в голономной системе координат;
Sh= Г^]+Ц^]=ГГиУ (13.3)
Заметим, что если считать заданными g^a, Qjf" и Spx, то не только
знакопеременная часть Г^х, но и будет зависеть от
выбора
кручения S^. Этой зависимости нет в том и только в том случае, если Spin
¦- полностью антисимметричный тензор. Заметим также, что символы
Кристоффеля симметричны только в голономной системе координат.
Пусть для вёкторов касательного пространства выполняются
соотношения:
Ф' = Н'рФ^; Фг = к?Фр, (13.4)
У"Ф' = к[УрФ\ (13.5)
Тогда можно выразить калибровочное поле Ар (kl) через реперы и
коэффициенты связности в базе Г^х:
r?v = hldv.K - hlA* (13-6)
(PQ)
134
С помощью (13.6) легко получить ковариантную производную
метрического тензора:
?м-;ц = 2Лц(р<7)Аг(х, 1\ hky). (13.7)
(РЧ)
Аналогичные формулы можно получить при отображении на базу
пространства 4-мерного представления произвольной группы Gr. Для этого
достаточно заменить матрицы представления группы Лоренца матрицами
представления Gr: /*, и калибровочное поле A u (р$)
а
заменить вектор-потенциалом Формулы для группы SU (2) можно получить,
отождествляя компоненты А № (pq) с двумя вектор- потенциалами:
"электрическим" (0, а) и "магнитным"
= eabcAil (b, с). Если представление Gr таково, что все матрицы 1\
вещественны и антисимметричны, то (13.7) переходит в
а
gxv.-ц = 0. (13.8)
Для симметричных коэффициентов связности r?v из формулы
(13.6) следует
Г^] = hldlvt /4] -hlAl /! hkv] = 0, (13.9)
а
а также
(Д, [т f'k ^v] = (^Т1 ^[[А ^v] ~Г hvi д[т /l ji,] ^т] ) "Ь
а
1 /2 (QT|1V QVM-T)* (13.10)
Если матрицы /?й симметричны, формула (13.10) дает
а
(13.11).
Если Ilk антисимметричны, то получим Q^x = 0 и
a
A#ii№= A^.xv (13.12)
a
Здесь AT,nv - коэффициент связности Риччи. С помощью величин
а
со -с v = hr t^k^v и обратных со'/ связанных с первыми соотношения-
а а
b а
ми covx(r)v*' = Щ', (r) = gab(r), где gab = fiJH - метрика на
а b
группе, можно переписать соотношение (13.12) в виде А? =
а
- (lA)covXA,i,vx- Аналогично формулу (13.6) можно представить в виде
А" = (кидХ~ r^v). ' (13.13)
135
Коэффициенты вращения Риччи отличны от нуля только в неголо номной
системе координат (Qjv = h]d[yh'v] Ф 0). Они описывают перенос
ортогональной системы реперов. В голономной системе координат при l7nV]
= 0 из (13.11), (13.12) следует Qvnx= QXflv, Ay = 0. Если r[TUV]=Sjv Ф 0,
получим для симметричных и антисимметричных llk соответственно:
Таким образом, если У4 представляет собой риманово пространство без
кручения, то калибровочные поля могут быть связаны только с
неголономностью системы координат подобно инерциальным силам.
Условия (13.15) эквивалентны условиям ковариантного постоянства
реперов:
Условия (13.16) и (13.17) обеспечивают переход локального базиса
представления Gr в себя при параллельном переносе в V4. В то же время они
означают, что реперы в каждой точке х = const удовлетворяют уравнениям
(10.27) для коэффициентов дифференцируемых отображений. Существует ли
система реперов, удовлетворяющая нашим условиям? Условия
интегрируемости (13.16) имеют вид
где FyV - тензор напряженности калибровочного поля, а
(вертикальными черточками обозначены индексы, не участвующие в
антисимметризации). При S?v = 0 вследствие (13.16) и (13.17) отсюда следует
